Question

3．探究：如图①，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P是对角线AC上的一点，过点P分别作AB、AD的平行线，交BC、CD于点M、N，求$\frac{PM}{PN}$的值；
应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P是对角线AC上的一点，Rt△PEF的两条直角边PE、PF分别交BC、CD于点M、N，则$\frac{PM}{PN}$=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 探究：首先证明PN=MC，由PM∥AB，推出$\frac{PM}{AB}$=$\frac{CM}{CB}$，即$\frac{PM}{CM}$=$\frac{AB}{BC}$，由此即可解决问题．
应用：先过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，判定△PGM∽△PHN，再根据相似三角形的性质以及探究的结论即可解决问题；

解答 探究：解：如图①中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠DCB=90°，AD=BC=4，
∵PM⊥BC，PN⊥CD，
∴∠PMC=∠PNC=90°，
∴四边形PMCN是矩形，
∴PN=CM，
∵∠PMC=∠B=90°，
∴PM∥AB，
∴△CPM∽△CAB，
∴$\frac{PM}{AB}$=$\frac{CM}{CB}$，即$\frac{PM}{CM}$=$\frac{AB}{BC}$，
∵AB=3，BC=4
∴$\frac{PM}{PN}$=$\frac{PM}{CM}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{3}{4}$．

应用：解：如图②中，过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，则∠PGM=∠PHN=90°，∠GPH=90°，

∵Rt△PEF中，∠FPE=90°
∴∠GPM=∠HPN
∴△PGM∽△PHN
∴$\frac{PM}{PN}$=$\frac{PG}{PH}$，
由条件可知，$\frac{PG}{PH}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{PM}{PN}$=$\frac{3}{4}$．
故答案为$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的应用以及平行线的性质，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，并根据两角对应相等判定两个三角形相似．解题时注意，平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例，属于中考压轴题．