Question

1．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为CB边上一动点，CD=$\frac{1}{n}$BC，连接AD，CE⊥AD于点E，延长线BE交AC于点F．
（1）若n=3，则$\frac{CE}{DE}$=3，$\frac{AE}{DE}$=9；
（2）若n=2，求证：AF=2FC；
（3）若F为AC的中点，请直接写出n的值．

Answer 1

分析 （1）通过证明△CED∽△ACD，根据相似比即可求得CE：DE的长，同理可求得AE：DE的值．
（2）根据已知可求得△GED∽△AFE，根据相似比即可求得AF，FC的关系．
（3）要使AF=CF，必需n²=（n-1）：n．

解答 解：（1）由题意得，∠DEC=∠DCA=90°，∠EDC=∠CDA，
∴△CED∽△ACD．
∴CE：DE=AC：CD．
∵AC=BC，
∴AC：CD=n=3．
∴CE：DE=3．
同理可得：AE：DE=9．
故答案为：3，9．
（2）如图，当n=2时，D为BC的中点，取BF的中点G，连接DG，
则DG=$\frac{1}{2}$FC，DG∥FC．
∵CE⊥AD，∠ACB=90°，
∴∠ECD+∠EDC=∠CAD+∠ADC=90°．
∴∠ECD=∠CAD．
∵tan∠ECD=$\frac{ED}{EC}$，tan∠CAD=$\frac{DC}{AC}$=$\frac{C}{EA}$，
∴$\frac{ED}{EC}$=$\frac{EC}{EA}$=$\frac{DC}{AC}$．
∵AC=BC，BC=2DC，
∴$\frac{ED}{EC}$=$\frac{EC}{EA}$=$\frac{DC}{AC}$=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{ED}{AE}$=$\frac{1}{4}$．
∵DG∥FA，
∴△GDE∽△FAE．
∴$\frac{DG}{FA}$=$\frac{DE}{AE}$．
∴DG=$\frac{1}{4}$AF．
∵DG=$\frac{1}{2}$FC，
∴AF=2FC．
（3）如图，∵BC=nDC，
∴DC：BC=1：n，
∴DC：AC=1：n，
∴DE：CE：AE=1：n：n²；
∴DG：AF=1：n²；
又∵DG：CF=DB：BC=（BC-CD）：BC=（n-1）：n
要使AF=CF，必需n²=n：（n-1），（n＞0）
∴当n=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，F为AC的中点．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，关键是根据相似三角形得出线段之间的比例关系，进而得出所求线段与n之间的关系．