Question

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，D为⊙O的弧AB上一点，延长DA至点E，使CE=CD．
（1）求证：AE=BD；
（2）若AC⊥BC，试说明AD、BD与CD之间是否存在某种确定的等量关系？请画图（非尺规作图），写出你的结论并证明．

Answer 1

（1）证明：根据圆周角定理，∠ABC=∠ADC，
∵AC=BC，CE=CD，
∴∠BCA=180°-2∠ABC，∠DCE=180°-2∠ADC，
∴∠BCA=∠DCE，
∴∠BAC-∠ACD=∠DCE-∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE=BD；

（2）解：AD+BD=CD．
理由如下：∵AC⊥BC，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∴∠ADC=45°，
∵CE=CD，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴DE=CD，
∵DE=AD+AE=AD+BD，
∴AD+BD=CD．
分析：（1）根据同弧所对的圆周角相等可得∠ABC=∠ADC，再根据等腰三角形的性质求出∠BCA=∠DCE，然后求出∠BCD=∠ACE，再利用“边角边”证明△BCD和△ACE全等，根据全等三角形的证明即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC=45°，然后求出∠ADC=45°，从而求出△CDE是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍解答．
点评：此题主要考查了圆周角定理以及等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，求出相等的角∠BCD=∠ACE是解题的关键．