Question

已知开口向上的抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于C点，∠ACB不小于90°．
（1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）求系数a的取值范围；
（3）设抛物线的顶点为D，求△BCD中CD边上的高h的最大值．
（4）设E，当∠ACB=90°，在线段AC上是否存在点F，使得直线EF将△ABC的面积平分？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线 y=ax²+bx+c过点A（-3，0），B（1，0），
∴消去b，得 c=-3a．
∴点C的坐标为（0，-3a），
答：点C的坐标为（0，-3a）．

（2）当∠ACB=90°时，
∠AOC=∠BOC=90°，∠OBC+∠BCO=90°，∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠ACO=∠OBC，
∴△AOC∽△COB，，
即 OC²=AO•OB，
∵AO=3，OB=1，
∴OC=，
∵∠ACB不小于90°，
∴OC≤，即-c≤，
由（1）得 3a≤，
∴a≤，
又∵a＞0，
∴a的取值范围为0＜a≤，
答：系数a的取值范围是0＜a≤．

（3）作DG⊥y轴于点G，延长DC交x轴于点H，如图．
∵抛物线 y=ax²+bx+c交x轴于A（-3，0），B（1，0）．
∴抛物线的对称轴为x=-1．
即-=-1，所以b=2a．
又由（1）有c=-3a．
∴抛物线方程为 y=ax²+2ax-3a，D点坐标为（-1，-4a）．
于是 CO=3a，GC=a，DG=1．
∵DG∥OH，
∴△DCG∽△HCO，
∴，即，得 OH=3，表明直线DC过定点H（3，0）．
过B作BM⊥DH，垂足为M，即BM=h，
∴h=HB sin∠OHC=2 sin∠OHC．
∵0＜CO≤，
∴0°＜∠OHC≤30°，0＜sin∠OHC≤．
∴0＜h≤1，即h的最大值为1，
答：△BCD中CD边上的高h的最大值是1．

（4）由（1）、（2）可知，当∠ACB=90°时，，，
设AB的中点为N，连接CN，则N（-1，0），CN将△ABC的面积平分，
连接CE，过点N作NP∥CE交y轴于P，显然点P在OC的延长线上，从而NP必与AC相交，设其交点为F，连接EF，
因为NP∥CE，所以S_△CEF=S_△CEN，
由已知可得NO=1，，而NP∥CE，
∴，得 ，
设过N、P两点的一次函数是y=kx+b，则，
解得：，
即 ，①
同理可得过A、C两点的一次函数为 ，②
解由①②组成的方程组得，，
故在线段AC上存在点满足要求．
答：当∠ACB=90°，在线段AC上存在点F，使得直线EF将△ABC的面积平分，点F的坐标是（-，-）．
分析：（1）由抛物线 y=ax²+bx+c过点A（-3，0），B（1，0），得出c与a的关系，即可得出C点坐标；
（2）利用已知得出△AOC∽△COB，进而求出OC的长度，即可得出a的取值范围；
（3）作DG⊥y轴于点G，延长DC交x轴于点H，得出抛物线的对称轴为x=-1，进而求出△DCG∽△HCO，得出OH=3，过B作BM⊥DH，垂足为M，即BM=h，根据h=HB sin∠OHC求出0°＜∠OHC≤30°，得到0＜sin∠OHC≤，即可求出答案；
（4）连接CE，过点N作NP∥CD交y轴于P，连接EF，根据三角形的面积公式求出S_△CAEF=S_{四边形EFCB}，根据NP∥CE，求出 ，设过N、P两点的一次函数是y=kx+b，代入N、P的左边得到方程组，求出直线NP的解析式，同理求出A、C两点的直线的解析式，组成方程组求出即可．
点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，三角形的面积，解二元一次方程，相似三角形的性质和判定，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．