Question

在平面坐标系中，第1个正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A₁，作第2个正方形A₁B₁C_lC，延长C₁B₁交x轴于点A₂：作第3个正方形A₂B₂C₂C₁，…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为（　　）

• A、5•（

  3

  2

  ）²⁰⁰⁰
• B、5•（

  9

  4

  ）²⁰¹⁰
• C、5•（

  9

  4

  ）⁴⁰²⁰
• D、5•（

  3

  2

  ）⁴⁰¹⁸

Answer 1

考点：正方形的性质,坐标与图形性质

专题：规律型

分析：先由勾股定理就可以求出AD=

5

，第一个正方形的面积为5，由△A₁BA∽△AOD就可以求出A₁B=

5

2

，得出A₁C=

3 5

2

，第二个正方形的面积为5×（

3

2

）²，再由△A₂B₁A₁∽△AOD就可以求出A₁B₁=

3 5

4

，A₂C₁=（

3

2

）²

5

，第三个正方形的面积为：5×（

3

2

）⁴，根据规律可以得出第四个正方形的面积为5×（

3

2

）⁶，第五个正方形的面积为5×（

3

2

）⁸，…第n个正方形的面积为5×（

3

2

）^2n-2．故可以得出第2010个正方形的面积．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC，∠DAB=90°．
∵A（1，0），D（0，2），
∴OA=1，OD=2．
在Rt△ADO中，由勾股定理，得
AD=

5

，
故第一个正方形的面积为5；
∵四边形A₁B₁C_lC是正方形，
∴A₁C=A₁B₁=B₁C₁，∠CA₁B₁=90°
∴△A₁BA∽△AOD，
∴

A1B

1

=

5

2

，
∴A₁B=

5

2

，
∴A₁C=

3 5

2

，
∴第二个正方形的面积为5×（

3

2

）²；
∵△A₂B₁A₁∽△AOD，
∴A₁B₁=

3 5

4

，
∴A₂C₁=（

3

2

）²

5

，
∴第三个正方形的面积为：5×（

3

2

）⁴；
根据规律可以得出
第四个正方形的面积为5×（

3

2

）⁶，
第五个正方形的面积为5×（

3

2

）⁸，
…
第n个正方形的面积为5×（

3

2

）^2n-2．
当n=2010时，
第2010个正方形的面积为5×（

3

2

）⁴⁰¹⁸．
故选D．

点评：本题考查了点的坐标的运用，正方形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，正方形的面积公式的运用，规律的探究的运用，解答时探究出正方形的面积变化规律是关键．