Question

如图，抛物线C₁：y=（x+m）²（m为常数，m＞0），平移抛物线y=﹣x²，使其顶点D在抛物线C₁位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C₂．抛物线C₂交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a．

（1）如图1，若m=．

①当OC=2时，求抛物线C₂的解析式；

②是否存在a，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；

（2）如图2，当OB=2﹣m（0＜m＜）时，请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）．

Answer 1

解：（1）当m=时，抛物线C₁：y=（x+）²．

∵抛物线C₂的顶点D在抛物线C₁上，且横坐标为a，

∴D（a，（a+）²）．

∴抛物线C₂：y=﹣（x﹣a）²+（a+）² （I）．

①∵OC=2，∴C（0，2）．

∵点C在抛物线C₂上，

∴﹣（0﹣a）²+（a+）²=2，

解得：a=，代入（I）式，

得抛物线C₂的解析式为：y=﹣x²+x+2．

②在（I）式中，

令y=0，即：﹣（x﹣a）²+（a+）²=0，解得x=2a+或x=﹣，∴B（2a+，0）；

令x=0，得：y=a+，∴C（0，a+）．

设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：

，解得，

∴直线BC的解析式为：y=﹣x+（a+）．

假设存在满足条件的a值．

∵AP=BP，

∴点P在AB的垂直平分线上，即点P在C₂的对称轴上；

∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC，只有OP⊥BC时等号成立，

∴OP⊥BC．

如答图1所示，设C₂对称轴x=a（a＞0）与BC交于点P，与x轴交于点E，

则OP⊥BC，OE=a．

∵点P在直线BC上，∴∴P（a，a+），PE=a+．

∵tan∠EOP=tan∠BCO===2，

∴==2，

解得：a=．

∴存在a=，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP

（3）∵抛物线C₂的顶点D在抛物线C₁上，且横坐标为a，

∴D（a，（a+m）²）．

∴抛物线C₂：y=﹣（x﹣a）²+（a+m）²．

令y=0，即﹣（x﹣a）²+（a+m）²=0，解得：x₁=2a+m，x₂=﹣m，∴B（2a+m，0）．

∵OB=2﹣m，∴2a+m=2﹣m，∴a=﹣m．

∴D（﹣m，3）．

AB=OB+OA=2﹣m+m=2．

如答图2所示，设对称轴与x轴交于点E，则DE=3，BE=AB=，OE=OB﹣BE=﹣m．

∵tan∠ABD===，∴∠ABD=60°．

又∵AD=BD，∴△ABD为等边三角形．

作∠ABD的平分线，交DE于点P₁，则P₁E=BE•tan30°=•=1，

∴P₁（﹣m，1）；

在△ABD形外，依次作各个外角的平分线，它们相交于点P₂、P₃、P₄．

在Rt△BEP₂中，P₂E=BE•tan60°=•=3，

∴P₂（﹣m，﹣3）；

易知△ADP₃、△BDP₄均为等边三角形，∴DP₃=DP₄=AB=2，且P₃P₄∥x轴．

∴P₃（﹣﹣m，3）、P₄（3﹣m，3）．

综上所述，到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点有4个，

其坐标为：P₁（﹣m，1），P₂（﹣m，﹣3），P₃（﹣﹣m，3），P₄（3﹣m，3）．