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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    精英家教网如图，已知△ABC中∠C=90°，BC=4，AC=3，点P是斜边AB上的一动点，作PE⊥BC于点E，作PF⊥AC于点F，垂足分别为E、F．
    （1）求证：四边形PECF是矩形；
    （2）想一想，当点P运动到什么地方时，△APF与△PBE全等，证明你的猜想；
    （3）想一想，当点P运动到什么地方时，四边形PECF是正方形，证明你的猜想；
    （4）想一想，当点P运动到什么地方时，四边形PECF的面积最大，并求出这个最大值．
    分析：（1）知道什么是矩形即可求解，即确定四个角都是直角即可．
    （2）若使两三角形全等，因为都是直角三角形，且PF∥BC，只需一条边相等即可，即P运动到中点位置时，两条斜边相等．
    （3）由（1）知四边形PECF是矩形，要使其为正方形，只需相邻两条边相即可．先假设其两邻边相等，即PE=PF，在假设其为一未知量x，通过相似三角形求其具体的值．
    （4）这一问涉及二次函数求最值问题，可先假设AP=x，由△APF∽△ABC，求出x的值，进而求出其最大面积，即P点移动到AB中点时的面积为最大．
    解答：解：（1）证明：∵PE⊥BC，
    ∴∠PEC=90°（1分）
    同理：∠PFC=∠C=90°，
    ∴四边形PECF是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）；（2分）

    （2）P运动到线段AB的中点时，△APF与△PBE全等（3分）
    ∵PE⊥BC，
    ∴∠PEB=∠C=90°，
    ∴PE∥AC，
    ∴∠EPB=∠A（4分）
    同理∠APF=∠B，
    若点P是AB的中点则有AP=PB，
    可得△APF≌△PBE（ASA）；（5分）

    （3）当AP=
    15
    7
    时，四边形PECF是正方形，
    由（1）知四边形PECF是矩形，若四边形PECF是正方形，
    则有PE=PF，设PE=PF=x，
    则CF=x，AF=3-x，（6分）
    ∵PE∥AC，
    ∴∠BEP=∠C，∠BPE=∠A，
    ∴△APF∽△ABC，（7分）
    ∴
    PF
    AF
    =
    BC
    AC
    =
    4
    3
    ，即
    x
    3-x
    =
    4
    3
    ，
    解得x=
    12
    7
    ，
    经检验x=
    12
    7
    是方程的根，
    ∴AF=3-x=
    9
    7
    ，CF=x=
    12
    7
    ，
    在Rt△AFP中，根据勾股定理得：AP=
    		AF2+PF2
    =
    15
    7
    ，
    即当AP=
    15
    7
    时，PE=PF=
    12
    7
    ，
    矩形PECF是正方形；

    （4）当AP=
    5
    2
    时，四边形PECF的面积最大．
    由（1）知四边形PECF是矩形，
    ∵∠C=90°，BC=4，AC=3，
    ∴根据勾股定理得：AB=
    		AC2+BC2
    =5，（9分）
    设AP=x，则由△APF∽△ABC可得：
    PF
    AP
    =
    BC
    AB
    =
    4
    5
    ，即PF=
    4
    5
    x    ，
    AF
    AP
    =
    AC
    AB
    =
    3
    5
    ，即AF=
    3
    5
    x    ，
    ∴PE=3-
    3
    5
    x    ，
    ∴S矩形PECF=PF•FC=
    4
    5
    x（3-
    3
    5
    x）（10分）
    ∵
    4
    5
    x（3-
    3
    5
    x）=-
    12
    25
    （x-
    5
    2
    ）2+3，
    ∴当x=
    5
    2
    时四边形PECF的面积最大，最大值为3．（11分）
    点评：熟练掌握正方形及矩形的性质及判定，理解直角三角形勾股定理的概念，能够求解二次函数的最值问题．
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    求证：EF≥
    12
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