Question

（2011•南宁）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1．过点C作CC₁⊥AB于C₁，过点C₁作C₁C₂⊥AC于C₂，过点C₂作C₂C₃⊥AB于C₃，…，按此作发进行下去，则AC_n=

( 3 )n+1

2n

．

Answer 1

分析：通过题意可以计算出AB=2 AC=

3

，根据题意特殊角的三角函数值即可推出

3

2

=

AC1

AC

，可得AC1=

3

2

=

( 3 )2

21

，同理即可推出AC₂=

3 3

4

=

( 3 )3

22

，AC₃=

9

8

=

( 3 ) 4

23

，所以AC_n=

( 3 )n+1

2n

．

解答：解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AB=2 AC=

3

，
∵CC₁⊥AB于C₁，
∴

3

2

=

AC1

AC

，
∴AC1=

3

2

=

( 3 )2

21

，
∵C₁C₂⊥AC，C₂C₃⊥AB，
∴同理，AC₂=

3 3

4

=

( 3 )3

22

，AC₃=

9

8

=

( 3 ) 4

23

，
∴AC_n=

( 3 )n+1

2n

．
故答案为

( 3 )n+1

2n

．

点评：本题主要考查特殊角的三角函数值，二次根式的化简，垂线的性质等知识点，关键在于熟练运用相关的性质定理推出AC₁，AC₂，AC₃的长度，通过对分子分母的变形归纳出序数与分子分母的次数之间的关系，分析出规律即可．