Question

如图，直线y=2x-2与x轴交于点A，抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是直线x=3，抛物线经过点A，且顶点P在直线y=2x-2上．
（1）求A、P两点的坐标及抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（2）画出抛物线的草图，并观察图象写出不等式ax²+bx+c＞0的解集．

Answer 1

解：（1）对于y=2x-2，
当y=0时，2x-2=0，解得x=1，
当x=3时，y=2×3-2=4，
∴A（1，0），P（3，4），
设抛物线的解析式为y=a（x-3）²+4，
将A点的坐标代入，得a（1-3）²+4=0，
解得，a=-1，
所以，抛物线的解析式为 y=-（x-3）²+4，
即 y=-x²+6x-5；

（2）画出抛物线的草图如图．
解方程-x²+6x-5=0，得x₁=1，x₂=5，
所以，不等式-x²+6x-5＞0的解集是1＜x＜5．
分析：（1）令y=0，根据直线解析式求解即可得到点A的坐标，在把x=3代入直线解析式求出y的值即可得得到顶点P的坐标，设抛物线顶点式解析式y=a（x-3）²+4，把点A的坐标代入求出a的值，即可得解；
（2）根据抛物线的作法作出草图即可，根据抛物线开口方向向下，与x轴交点之间的部分的x的值即为不等式的解集．
点评：本题考查了二次函数与不等式的关系，直线与坐标轴的交点的求解，待定系数法求二次函数解析式，（1）利用顶点式解析式求二次函数的解析式更加简便．