Question

如图，已知点A的坐标（

3

，3），AB⊥x轴，垂足为B，连接OA，反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象与线段OA、AB分别交于C、D两点，若AB=3BD．以C点为圆心，2CA长为半径作圆C．
（1）求k的值；
（2）求点C坐标；
（3）判断⊙C与x轴的位置关系．

Answer 1

分析：（1）根据A（

3

，3），AB=3BD求出点D的坐标，故可得出k的值；
（2）由（1）中k的值求出反比例函数的解析式，用待定系数法求出直线OA的解析式，把反比例函数与一次函数的解析式组成方程组即可求出C点坐标；
（3）由（2）中C点坐标可求出点C与x轴的距离及CA的长，由圆与直线的位置关系即可得出结论．

解答：解：（1）∵A（

3

，3），
∴AB=3，
∵AB=3BD，
∴BD=

1

3

AB=

1

3

×3=1，
∴D（

3

，1）
∵点D在反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象上，
∴1=

k

3

，解得k=

3

；

（2）∵k=

3

，
∴反比例函数的解析式为y=

3

x

，
设直线OA的解析式为y=kx，
∵A的坐标（

3

，3），
∴

3

k=3，解得k=

3

，
∴直线OA的解析式为y=

3

x，
∴

y= 3 x y= 3 x

，解得x=1或x=-1（舍去），
∴C（1，

3

）；

（3）∵C（1，

3

），
∴点C到x轴的距离为

3

，
∵A（

3

，3），
∴OA=2

3

，OC=2，
∴CA=OA-OC=2

3

-2，
∴2CA=4

3

-4，
∵4

3

-4-

3

=3

3

-4＞0，
∴⊙C与x轴相交．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式、直线与圆的位置关系等知识，难度适中．