Question

9．如图，在直角梯形OABC中，BC∥AO，∠AOC=90°，点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），点D为AB上一点，且BD=2AD，函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）经过点D，交BC于点E．
（1）求k的值；
（2）求四边形ODBE的面积．

Answer 1

分析 （1）作BH⊥OA于H，DF⊥OA于F，如图，易得BH=6，BC=2，OA=5，AH=3，证明△ADF∽△ABH，利用相似比可计算出DF=2，AF=1，则可确定D（4，2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得k=8；
（2）利用反比例函数的几何意义得到S_△COE=4，根据三角形面积公式和梯形面积公式得到S_△OAD=5，S_梯形OABC=21，然后利用S_{四边形ODBE}=S_梯形OABC-S_△CDE-S_△OAD进行计算．

解答 解：（1）作BH⊥OA于H，DF⊥OA于F，如图，
∵点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），
∴BH=6，BC=2，OA=5，
∴AH=5-2=3，
∵DF∥BH，
∴△ADF∽△ABH，
∴$\frac{DF}{BH}$=$\frac{AF}{AH}$=$\frac{AD}{AB}$，即$\frac{DF}{6}$=$\frac{AF}{3}$=$\frac{1}{3}$，
∴DF=2，AF=1，
∴OF=OA-AF=4，
∴D（4，2），
∴k=4×2=8；
（2）∵S_△COE=$\frac{1}{2}$×8=4，S_△OAD=$\frac{1}{2}$×5×2=5，S_梯形OABC=$\frac{1}{2}$×（2+5）×6=21，
∴S_{四边形ODBE}=S_梯形OABC-S_△CDE-S_△OAD=21-4-5=12．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征和相似三角形的判定与性质．