Question

如图，AB是⊙0的直径，AC切⊙0于点A，AD是⊙0的弦，OC⊥AD于F交⊙0于E，连接DE，BE，BD．AE．
（1）求证：∠C=∠BED；
（2）如果AB=10，tan∠BAD=，求AC的长；
（3）如果DE∥AB，AB=10，求四边形AEDB的面积．

Answer 1

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CA切⊙O于A，
∴∠C+∠AOC=90°；
又∵0C⊥AD，
∴∠OFA=90°，
∴∠AOC+∠BAD=90°，
∴∠C=∠BAD．
又∵∠BED=∠BAD，
∴∠C=∠BED．

（2）解：由（1）知∠C=∠BAD，tan∠BAD=，
∴tan∠C=．
在Rt△OAC中，tan∠C=，且OA=AB=5，
∴，解得．

（3）解：∵OC⊥AD，∴，∴AE=ED，
又∵DE∥AB，∴∠BAD=∠EDA，∴，
∴AE=BD，
∴AE=BD=DE，
∴，
∴∠BAD=30°，
又∵AB是直径，∴∠ADB=90°，
∴BD=AB=5，DE=5，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=，
过点D作DH⊥AB于H，
∵∠HAD=30°，∴DH=AD=，
∴四边形AEDB的面积=．
分析：（1）根据切线性质、垂直的性质、直角三角形的两个锐角互余的性质求得∠C+∠AOC=∠AOC+∠BAD=90°，即∠C=∠BAD；然后由圆周角定理推知∠BED=∠BAD；最后由等量代换证得∠C=∠BED；
（2）根据锐角三角函数的定义求AC的长；
（3）根据已知条件推知AE=BD=DE，然后由圆的弧、弦、圆心角间的关系知，从而求得∠BAD=30°；然后由直径AB所对的圆周角∠ADB=90°可以求得直角三角形ABD中30°所对的直角边是斜边的一半BD=AB=5，DE=5；最后（过点D作DH⊥AB于H）在直角三角形HDA中求得高线DH的长度，从而求得梯形ABDE的面积．
点评：本题考查了圆周角定理、勾股定理、平行线的性质以及锐角三角函数的定义．解题时，注意知识的综合利用．