Question

如图1，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．
（1）求证：CE=CF．
（2）点E′在BC边上，点F′、点D′在AB边上，△ADE≌△F′D′E′，其它条件不变，如图2所示，试猜：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．

Answer 1

解：（1）∵直角△ACF中，∠1+∠3=90°，
又∵直角△ADE中，∠2+∠4=90°，且∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∵∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
∴CE=CF；
（2）结论：BE′=CF
证明：作EH⊥AC与H．
∵∠1=∠2，
∴EH=ED，
又∵△ADE≌△F′D′E′，
∴ED=E′D′，
∴EH=E′D′，
∵直角△ACD中，∠CAB+∠6=90°，
直角△ABC中，∠CAB+∠B=90°，
∴∠6=∠B，
在△E′BD′和△ECH中，
，
∴△E′BD′≌△ECH，
∴CE=E′B，
∵CE=CF，
∴BE′=CF．
分析：（1）利用直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等，即可证得∠3=∠5，根据等角对等边证明CE=CF；
（2）作EH⊥AC与H，△E′BD′≌△ECH得到CE=E′B，根据CE=CF，即可得到BE′=CF．
点评：本题考查了角平分线的性质定理，依据全等三角形的判定与性质，证明线段相等的问题常用的方法就是转化成三角形相等问题．