Question

17．如图，△ABC是等边三角形，D是AC边上一动点（D不与A、C重合），E为BC边的延长线上一动点，且在运动过程中始终保持CE=AD，连接DE．
（1）如图（1），当点D为BC边的中点时，试判断△BDE的形状，并证明你的结论；
（2）如图（2），当点D为BC边上任一位置时，（1）中的结论是否成立，请加以证明．

Answer 1

分析 （1）因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°，BD是AC边上的中线，则∠DBC=30°，再由题中条件求出∠E=30°，即可判断△BDE的形状．
（2）作DF∥AB，易证得△DFC是等边三角形，得出DC=FC=DF，然后依据SAS证得△BDF≌△EDC，证得∠B=∠E，即可证得△BDE是等腰三角形．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵AD=CD，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠E=30°，
∴∠DBE=∠E，
∴BD=DE，
∴△BDE是等腰三角形．
（2）成立，
证明：如图（2），作DF∥AB，
∴∠DFC=∠ABC=60°，
∵∠ACB=60°，
∴△DFC是等边三角形，
∴DC=FC=DF，
∵AC=BC，
∴AC-DC=BC-FC，即AD=BF，
∵CE=AD，
∴CE=BF，
在△BDF和△EDC中
$\left\{\begin{array}{l}{DF=DC}\\{∠BFD=∠ECD=120°}\\{BF=CE}\end{array}\right.$
∴△BDF≌△EDC（SAS），
∴∠B=∠E，
∴BD=ED，
∴△BDE是等腰三角形．

点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质及等边三角形的性质；此题把等边三角形的性质和等腰三角形的判定结合求解．考查了学生综合运用数学知识的能力，（2）找出辅助线构建全等三角形是解题的关键．