Question

13．如图所示，水平地面上有一自重为10N，底面积为400cm²的薄壁圆柱形容器，其底部有一固定轻质弹簧，弹簧上方连有一边长为10cm的正方体木块A，容器侧面靠近底部有一个由阀门B控制的出水口，当容器中水深为20cm时，木块A有$\frac{3}{5}$的体积露出水面，此时弹簧恰好处于自然状态，没有发形变．（不计弹簧受到的浮力，g取10N/kg）
求：
（1）此时容器底部受到的水的压强；
（2）木块A的密度；
（3）向容器内缓慢加水，直至木块A刚好完全浸没水中，立即停止加水，弹簧伸长了3cm，此时水平地面受到的压强为多少？

Answer 1

分析 （1）知道水深，根据液体压强公式p=ρgh求出容器底部受到的水的压强；
（2）利用物体的浮沉条件，此时木块漂浮．F_浮=G，根据公式ρ_水gV_排=ρ_木gV_木求出木块的密度；
（3）先求出水面升高的高度，进而知道此时水的深度，知道容器的底面积，根据V=Sh求出木块和水的总体积，
再根据V=a³求出木块的体积就可以计算出水的体积，根据G=mg=ρVg分别求出木块和水的重力，
则地面受到的压力等于容器自重、水的重力和木块的重力三者之和，最后根据p=$\frac{F}{S}$求出水平地面受到的压强．

解答 解：（1）容器底部受到水的压强：
p=ρ_水gh=1×10³kg/m³×10N/kg×0.2m=2×10³Pa；     
（2）弹簧恰好处于自然状态时没有发生形变，此时F_浮=G，
即ρ_水gV_排=ρ_木gV_木，
因为V_排=V_浸=（1-$\frac{3}{5}$）V_木，所以ρ_水g（1-$\frac{3}{5}$）V_木=ρ_木gV_木，
则木块A的密度ρ_木=$\frac{2}{5}$ρ_水=$\frac{2}{5}$×1.0×10³kg/m³=0.4×10³kg/m³．
（3）假设水面不动（即不加水），弹簧伸长3cm，木块向上运动3cm，木块底面距水面距离为10×（1-$\frac{3}{5}$）cm-3cm=1cm，
木块不动（已经运动了3cm），将水加至木块A刚好完全浸没水中，水面升高的高度△h=10cm-1cm=9cm=0.09m，
此时容器中水深h′=20cm+9cm=29cm=0.29m，
则木块和水的总体积V_总=Sh′=0.29m×4×10^-2m²=1.16×10^-2m³，
木块的体积V_木=a³=（0.1m）³=1×10^-3m³，
则水的体积V_水=V_总-V_水=1.16×10^-2m³-1×10^-3m³=1.06×10^-2m³，
根据G=mg=ρVg可得，
水的重力G_水=ρ_水V_水g=1.0×10³kg/m³×10N/kg×1.06×10^-2m³=106N，
木块的重力G_木=ρ_木V_木g=0.4×10³kg/m³×10N/kg×1×10^-3m³=4N，
水平地面受到的压力F′=G_容+G_水+G_木=10N+106N+4N=120N，
则此时水平地面受到的压强p′=$\frac{F′}{S}$=$\frac{120N}{4×1{0}^{-2}{m}^{2}}$=3×10³Pa．
答：（1）此时容器底部受到的水的压强为2×10³Pa；
（2）木块A的密度为0.4×10³kg/m³；
（3）向容器内缓慢加水，直至木块A刚好完全浸没水中，立即停止加水，弹簧伸长了3cm，此时水平地面受到的压强为3×10³Pa．

点评 此题考查了学生对液体压强的计算，密度的计算及压强的大小及其计算等，涉及到了浮沉条件、体积的计算、重力的计算等多个知识点，判断水面上升的高度是本题的一个难点．
总之，该题过程比较复杂，要求同学们审题时要认真分析，稍有疏忽，就可能出错，因此是一道易错题．