Question

现有A、B两杯液体，其中A杯内液体为纯水，密度为ρ_A，B杯内液体的密度ρ_B未知．为测量B杯内液体的密度，某同学在实验室内利用刻度尺制作了一个有固定转轴的杠杆，两力臂长之比l₁：l₂=1：2．并用不同材质、相同厚度的板制成形状相同的甲、乙两把毫米刻度直尺，并将甲、乙两把尺分别悬挂在杠杆的两侧端点上，如图所示．此外，该同学还取来了一些橡皮泥．请你顺着以上叙述，写出某同学接下来的实验步骤、需要测量的物理量，并推导得出用这些物理量求B杯内液体密度的计算公式．

Answer 1

分析：从本题的现有器材和部分实验步骤可以看出，其整体思路得利用杠杆的平衡条件，找到未知液体的密度与水的密度的数量关系，最终得出表达式，求出未知液体的密度的．实验中橡皮泥可起到对杠杆两端进行配平的作用．浸入液体前两侧的力与力臂的乘积相等，浸入液体后，两侧的力减去各自的浮力，再乘以各自的力臂依然相等，根据这一关系，列出方程可最终求解．

解答：解：实验步骤：
如右图所示，在挂有直尺的杠杆左端或右端粘上一些橡皮泥，使杠杆平衡，然后将甲、乙两把尺同时慢慢浸入A、B两杯液体中一段长度，
在浸入过程中始终保持杠杆平衡，分别测出浸入液体的尺的长度h₁、h₂；
设甲、乙尺的宽度、厚度分别为a、b，尺的质量分别为m_甲、m_乙，
用橡皮泥配平后，杠杆的总质量为m．根据杠杆的平衡条件，两把尺浸入液体前有：
m_甲gL₁=m_乙gL₂+mgL₀
当两把尺浸入液体后有：
m_甲gL₁-ρ_Aabh₁gL₁=m_乙gL₂+mgL₀-ρ_Babh₂gL₂
由以上两式可得：ρ_B=

h1L1

h2L2

ρA=

h1

2h2

ρA．

点评：解决本题的关键是对平衡条件的正确运用，通过两次杠杆的平衡，分别列出方程，并用相关的公式进行分解，最终找出两液体密度的关系．对方程的化简处理主要用到了数学的知识，在计算难度上有一定的要求．