Question

13．如图所示，置于水平地面上的薄壁轻质圆柱形容器内盛有深为3H的水，容器的高为4H、底面积为5S．
①求体积为4×10^-3米³水的质量m_水．
②现有三个大小不同的圆柱体合金块（其规格如表所示）可选，请选择其中一个轻放入容器内并满足下列要求．
（a）圆柱体放入容器后，要求水对容器底面的压强最大．则应选择序号为乙的圆柱体，求出此时水对容器底面的压强p_水．
（b）圆柱体放入容器后，要求容器对水平地面的压强最大，则应选择序号为丙的圆柱体，求出此时容器对水平地面压强p_容．

序号	甲	乙	丙
密度	3ρ水
高度	H	3H	6H
底面积	3S	2S	S

Answer 1

分析 ①已知水的体积、密度，由m=ρV求解；
②（a）根据p=ρ_水gh，要求水对容器底面的压强最大，即液体深度最大，即液面上升的最高，物体排开液体的体积最大；
由表中数据，根据物体的浮沉条件，圆柱体均下沉，分别求出乙、丙两圆柱体排开水的体积，根据△h=$\frac{{V}_{排}}{5S}$求出液面上升的高度，比较大小，从而确定将乙、丙放入水中时容器内水的深度，最终求出水对容器底面的压强p_水；
（b）圆柱体放入容器后，容器对水面地面的压强为固体产生的，p_容=$\frac{{F}_{容}}{5S}$=$\frac{{G}_{水}+{G}_{柱体}}{5S}$，要求容器对水平地面的压强最大，要求容器内水的重力最大，且圆柱体的重力最大，在②的基础上，由表中数据确定自身重力最大且放入容器中没有水从容器中溢出的圆柱体，求出对地面的最大压强．

解答 解：①由ρ=$\frac{m}{V}$得，容器中水的质量：
m_水=ρV=1×10³kg/m³×4×10^-3m³=4kg；
②（a）圆柱体放入容器后，要求水对容器底面的压强最大，根据p=ρ_水gh可知，液体的深度应最大，即液面上升的最高，则物体排开水的体积最大；
由上表数据知，甲圆柱体的高度为H，底面积为3S，乙物体的高度为3H，底面积为2S，丙物体的高为6H，底面积为S，根据圆柱体的体积公式可知，乙、丙两圆柱体的体积相等，因圆柱体的密度大于水的密度，故放入水中时，圆柱体将下沉，
由于最初容器中水面的高度为3H，而乙物体的高度为3H，所以乙物体放入容器中时，乙将浸没在水中，则排开水的体积等于物体的体积，
则V_排乙=3H×2S=6HS，
水面上升的高度：
△h_乙=$\frac{{V}_{排乙}}{5S}$=$\frac{6HS}{5S}$=$\frac{6}{5}$H＞H（由题意可知，最初水面离容器上口的高度为H），
故水将溢出，此时水的深度为4H，
将丙放入水中时，排开水的体积：V_排丙=3H×S=3HS，
液面上升的高度：
△h_丙=$\frac{{V}_{排丙}}{5S-S}$=$\frac{3HS}{4S}$=$\frac{3}{4}$H＜H，
水没有溢出，水的深度为：
$\frac{3}{4}$H+3H=3.75H，
所以将乙圆柱体放入水中时，水对容器底部产生的压强最大：
p_水=ρ_水gh=ρ_水g×4H=4ρ_水gH；
（b）薄壁轻质圆柱形容器，即不计容器本身的重力，圆柱体放入容器后，容器对水平地面的压强为固体产生的，p_容=$\frac{{F}_{容}}{5S}$=$\frac{{G}_{水}+{G}_{柱体}}{5S}$，
要求容器对水平地面的压强最大，即分子最大，
由表中数据可知，根据G=mg=ρVg，易知乙、丙物体的重力最大且相等，由（a）知，将丙物体放入水中时水没有溢出，而将乙放入水时有水溢出，故将丙物体放入水中时，容器对地面的压力最大、压强最大，
所以此时丙容器对水平地面的最大压强为：
p_容=$\frac{{F}_{容}}{5S}$=$\frac{{G}_{水}{+G}_{丙}}{5S}$=$\frac{{m}_{水}g+{m}_{丙}g}{5S}$=$\frac{{ρ}_{水×}3H×5S×g+3{ρ}_{水}×6H×S×g}{5S}$=6.6ρ_水gH．
答：①体积为4×10^-3米³水的质量为4kg；
②（a）乙；出此时水对容器底面的压强为4ρ_水gH；
（b）丙；求出此时容器对水平地面压强6.6ρ_水gH．

点评 本题考查固体、液体压强公式的应用、物体的浮沉条件，关键是结合题目条件正确确定有最大压强的条件，难度较大，为压轴题．