Question

某科技小组设计的提升重物的装置如图甲所示．

图中水平杆CD与竖直杆EH、DI组合成支架固定在水平地面上．小亮站在地面上通过滑轮组提升重物，滑轮组由动滑轮Q和安装在水平杆CD上的两个定滑轮组成．小亮以拉力F₁匀速竖直提升物体A的过程中，物体A的速度为υ₁，滑轮组的机械效率为η_A．小亮以拉力F₂匀速竖直提升物体B的过程中，物体B的速度为υ₂，滑轮组的机械效率为η_B．拉力F₁、F₂做的功随时间变化的图象分别如图乙中①、②所示．已知：υ₁=3υ₂，物体A的体积为V_A，物体B的体积为V_B，且3V_A=2V_B，物体A的密度为ρ_A，物体B的密度为ρ_B，且8ρ_A=7ρ_B．（不计绳的质量，不计滑轮与轴的摩擦）求：机械效率η_B与η_A之差．

Answer 1

分析：由滑轮组的结构可以看出，承担物重的绳子股数n=2，
根据题目提供的两物体的体积关系和密度关系，利用密度公式和重力公式物重G_A和G_B关系；
不计绳的质量、不计滑轮与轴的摩擦，利用F=

1

2

（G_物+G_轮）求拉力F₁和F₂的大小；根据题中W-t图象提供的信息可求，拉力F₁和F₂的做功功率P₁和P₂，又知道运动速度关系，利用P=

W

t

=

Fs

t

=Fv求出拉力的大小关系；从而得出动滑轮和物重G_A和G_B关系；再利用效率公式求两种情况下的机械效率求差值．

解答：解：∵不计绳的质量，不计滑轮与轴的摩擦，
∴拉动物体A和物体B的拉力：
F_A=

1

2

（G_A+G_轮），F_B=

1

2

（G_B+G_轮），----------①
由题中W-t图象可知：
P_A=

W1

t1

=

270J

3s

=90W，
P_B=

W2

t2

=

90J

2s

=45W，
∵P=

W

t

=

Fs

t

=Fv，υ₁=3υ₂，
∴拉力做功功率：

PA

PB

=

FA×2v1

FB×2v2

，
∴

FA

FB

=

2

3

，-----------------②
由①②解得：

GA+G动

GB+G动

=

2

3

，---------------③
由G=mg=ρvg、3v_A=2v_B、8ρ_A=7ρ_B，解得：

GA

GB

=

7

12

，---------------------④
由③④解得：
G_动=

3

7

G_A，G_动=

1

4

G_B，
η_A=

W有A

W总A

=

GAh

(GA+G动)h

=

GA

GA+ 3 7 GA

=70%，
η_B=

W有B

W总B

=

GB

(GB+ 1 4 GB)h

=

GB

GB+ 1 4 GB

=80%，
η_B-η_A=80%-70%=10%
答：机械效率η_B与η_A之差为10%．

点评：本题关键：一是n的确定（直接从动滑轮上引出的绳子股数），二是不计摩擦和绳重时，F=

1

2

（G_物+G_轮），三是不计摩擦和绳重时，W_额=G_轮h．