一个底面直径为$\sqrt{2}$R.底面积为S的薄壁圆柱形容器放在水平地面上.容器内装有一定量的水．①若容器内水的质量为2千克.求水的体积．②求距离水面0.1米深处的液体内部压强．③若在水中浸入一个正方体.正方体沉底后.液体深度变为h.液体对容器底部的压强的增加量为△p.为使△p达到最大.求该正方体的边长及液体对容器底部的压强的增� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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1．一个底面直径为$\sqrt{2}$R、底面积为S的薄壁圆柱形容器放在水平地面上，容器内装有一定量的水．
①若容器内水的质量为2千克，求水的体积．
②求距离水面0.1米深处的液体内部压强．
③若在水中浸入一个正方体，正方体沉底后，液体深度变为h，液体对容器底部的压强的增加量为△p，为使△p达到最大，求该正方体的边长及液体对容器底部的压强的增加量△p．（结果用ρ_水、S、R、h等字母表示）

分析 ①已知水的密度和水的质量，根据ρ=$\frac{m}{V}$即可求出水的体积；
②已知水的密度和水的深度，直接根据p=ρgh即可求出水面下0.1米深处水的压强；
③根据p=ρgh可知，当容器足够深时水未溢出，此时水深度的变化量最大，根据△p=ρ_水g△h求出压强的最大变化量；当容器装满液体时放入甲物体后液体的深度不变、压强不变，即△p=0，然后结合压强的最大变化量和压强的最小变化量求出水对容器底部压强增加量的变化范围．

解答解：①由ρ=$\frac{m}{V}$可得，水的体积：
V=$\frac{m}{{ρ}_{水}}$=$\frac{2kg}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$=2×10^-3m³；
②距离水面0.1米深处的液体内部压强：
p=ρ_水gh=1×10³kg/m³×9.8N/kg×0.1m=980Pa；
③根据p=ρgh可知，为使△P达到最大，物体排开水的体积应最大，所以正方体的边长最大；
由于薄壁圆柱形容器的底面直径为$\sqrt{2}$R，
如图1所示，根据勾股定理可知，正方体的边长最大为R；

正方体沉底后，若处于浸没状态（图2的左图），即R≤h，
由于物体对液体的压力和液体对物体的浮力是一对相互作用力，
所以液体对容器底部的压力增加量：
△F₁=F_浮1=ρ_水gV_排=ρ_水gV_物=ρ_水gR³，
所以，△p₁=$\frac{△{F}_{1}}{S}$=$\frac{{ρ}_{水}g{R}^{3}}{S}$；
正方体沉底后，若物体没有浸没（图2的右图），即R＞h，
则液体对容器底部的压力增加量：
△F₂=F_浮2=ρ_水gV_排′=ρ_水ghR²，
则△p₂=$\frac{△{F}_{2}}{S}$=$\frac{{ρ}_{水}h{R}^{2}g}{S}$．
答：①水的体积为2×10^-3m³．
②距离水面0.1米深处的液体内部压强为980Pa．
③为使△p达到最大，该正方体的边长为R；
若R≤h，液体对容器底部的压强的增加量△p₁=$\frac{{ρ}_{水}g{R}^{3}}{S}$；若R＞h，△p₂=$\frac{{ρ}_{水}h{R}^{2}g}{S}$．

点评本题考查密度公式的应用和液体压强的计算，关键是圆柱形容器对容器底部的压力的增加就等于物体排开的水的重力．

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