Question

（2011?杨浦区一模）放置在水平地面上的两个物体A 和B均为实心长方体，它们的长、宽、高如图所示．物体A的质量为1.6千克，物体B的密度为0.5×10³千克/米³．
求：在保持物体A、B原有放置方式的情况下，若沿竖直方向截取物体，并通过一定的方法使它们对水平地面的压强相等．下表中有两种方案，请判断这两种方案是否可行，若认为行，计算所截取的体积．

	内容	判断（选填“行”或“不行”）
方案一	分别从A、B的右侧按相同比例截取一部分体积叠放在各自剩余部分的上表面	不行
方案二	分别从A、B的右侧截取相同体积，叠放在各自剩余部分的上表面	行

Answer 1

分析：由图可知，B的长、宽、高可求体积，再根据密度公式求出B物体的质量．
方案一：设长度的比例为

1

k

，则A剩余部分的长度是0.2（1-

1

k

）m，B剩余部分的长度是0.4（1-

1

k

）m，再根据面积公式求出剩余部分的底面积即为受力面积，水平面上物体的压力和自身的重力相等，根据压强公式表示出分别从A、B的右侧按相同比例截取一部分体积叠放在各自剩余部分的上表面时的压强，两者的压强不相等，即可判断此方法不可行；
方案二：分别从A、B的右侧截取相同体积时，为了计算方便可以认为截取的是长方体，总体积减掉截取的体积即为剩余部分物体的体积，再根据体积公式求出对应的底面积，再根据压强公式表示出把截取相同体积叠放在各自剩余部分的上表面时的压强，两者压强相等得出等式即可求出所截取的体积．

解答：解：根据ρ=

m

V

可得：
物体B的质量m_B=ρ_BV_B=0.5×10³kg/m³×0.4m×0.2m×0.2m=8kg，
方案一：
设比例为

1

k

，比例不是指体积的比例，而是长度的比例，
剩余A物体的底面积S_A剩=（1-

1

k

）0.2m×0.1m=0.02（1-

1

k

）m²，
剩余B物体的底面积S_A剩=（1-

1

k

）0.4m×0.2m=0.08（1-

1

k

）m²，
把截取的部分叠放在各自剩余部分的上表面时，
两者对地面的压强：
p_A1=

FA

SA剩

=

mAg

SA剩

=

1.6kg×9.8N/kg

0.02(1- 1 k )m2

=

784

1- 1 k

Pa，
p_B1=

FB

SB剩

=

mBg

SB剩

=

8kg×9.8N/kg

0.08(1- 1 k )m2

=

980

1- 1 k

Pa，
∵p_A1≠p_B1
∴方法一不可行；
方案二：设分别从A、B的右侧截取相同长方体体积为V，则分别截取的长度：
L_A=

V

0.1m×0.1m

，L_B=

V

0.2m×0.2m

剩余部分的底面积：
S_A2=（0.2m-L_A）×0.1m=（0.2m-

V

0.1m×0.1m

）×0.1m=0.02m²-

V

0.1m

，
S_B2=（0.4m-L_B）×0.2m=（0.4m-

V

0.2m×0.2m

）×0.2m=0.08m²-

V

0.2m

，
从A、B的右侧截取相同体积，叠放在各自剩余部分的上表面时，
两者对地面的压强：
p_A2=

FA

SA2

=

mAg

SA2

=

1.6kg×9.8N/kg

0.02m2- V 0.1m

，p_B2=

FB

SB2

=

mBg

SB2

=

8kg×9.8N/kg

0.08m2- V 0.2m

，
∵p_A2=p_B2，
∴

1.6kg×9.8N/kg

0.02m2- V 0.1m

=

8kg×9.8N/kg

0.08m2- V 0.2m

，
解得：V≈4.44×10^-4m³，
所以方案二可行，所截取的体积约为4.44×10^-4m³．
故答案为：
方案一不可行；方案二可行，所截取的体积约为4.44×10^-4m³．

点评：本题涉及的知识点不是很多，此题难点是考查了学生运用所学知识分析判断这两种方案是否可行，这是对所学知识的一种升华．