Question

盘山公路可以简化成物理模型斜面（如图）．设山路长为S，高为h，一辆重为G的汽车在牵引力F的作用下沿山路匀速上到山顶，行驶过程中受到地面的摩擦力为f，忽略空气的阻力．
（1）试利用做功的原理推导摩擦力的表达式：f=F-Gsinθ
（2）如果质量为7t的汽车，在2×10⁴N的牵引力作用下，沿盘山公路匀速行驶5.4km，到了高为0.5km的山顶，该斜面的机械效率是多少？

Answer 1

（1）证明：牵引力做的功为总功：W_总=FS，
克服重力做的功为有用功W_有用=Gh，∵W_总=W_有用+W_额，
∴W_额=W_总-W_有用=FS-Gh，
克服摩擦力做的是额外功，
∵W_额=fS，
∴摩擦力f===F-=F-G?sinθ．
（2）
已知：m=7t=7000kg h=0.5km=500m F=2×10⁴N S=5.4km=5400m g=9.8N/kg
求：η=？
解：汽车的重力为G=mg=7000N×9.8N/kg=68600N
牵引力做的有用功为W_有用=Gh=68600N×500m=3.43×10⁷J；
牵引力做的总功为W_总=FS=2×10⁴N×5400m=1.08×10⁸J；
斜面的机械效率为η==×100%≈31.76%．
答：斜面的机械效率为31.76%．
分析：（1）把盘山公路简化为物理模型斜面，牵引力做的功为总功，将汽车提升做的功为有用功，额外功等于总功减去有用功；而额外功是克服摩擦阻力做的功，据此求摩擦力大小．
（2）已知汽车的质量，可以得到重力，已知汽车重和上升的高度，可以得到有用功；已知牵引力和行驶路程，可以得到总功；已知有用功和总功，利用公式η=得到斜面的机械效率．
点评：本题考查了使用斜面有用功、额外功、总功的计算方法，知道利用斜面时额外功就是克服摩擦阻力做的功是解决第一小题的关键．