Question

19．如图所示，电源电压不变，闭合开关S，当滑动变阻器的滑片P处于$\frac{1}{4}$R时，电压表的示数为4V，当滑动变阻器的滑片P继续向右滑至中点时，电压表示数变化了2V，则电源电压为12V；通过移动滑动变阻器的滑片P，使R₀与R的电功率分别达到最大值P₀、P，则P₀：P=4：1．

Answer 1

分析 （1）分析电路的连接，根据两次电路变阻器连入电路中电阻的大小，根据分压原理确定第2次电压表的示数，根据分压原理和串联电路电压的规律确定电源电压；
（2）根据P=UI=$\frac{{U}^{2}}{R}$，当R₀的电压最大时，R₀的功率最大；
根据P=I²R=（$\frac{U}{R{+R}_{0}}$）²R，结合数学知识讨论R有最大功率的条件，并写出最大功率的表达式，从而求出R₀与R的电功率分别达到最大值时P₀与P之比的值．

解答 解：（1）由电路图可知，闭合开关S，R₀与变阻器串联，电压表测变阻器的电压；
当滑动变阻器的滑片P处于$\frac{1}{4}$R时，电压表的示数为U₁=4V（为第一个电路）；
当滑动变阻器的滑片P继续向右滑至中点时，变阻器连入电路中的电阻为$\frac{1}{2}$R（为第二个电路），

根据分压原理可知，变阻器接入电阻增大，此时电压表示数应增大，所以此时电压表示数：
U₂=U₁+△U=4V+2V=6V，
在两个电路中，根据电阻的串联和欧姆定律可得，电路中的电流分别为：
I₁=$\frac{U}{\frac{1}{4}R{+R}_{0}}$，I₂=$\frac{U}{\frac{1}{2}R{+R}_{0}}$
根据U=IR可得，电压表示数的表达式分别为：
U₁=$\frac{U}{\frac{1}{4}R{+R}_{0}}$×$\frac{1}{4}$R=4V------①，
U₂=$\frac{U}{\frac{1}{2}R{+R}_{0}}$×$\frac{R}{2}$=6V------②，
②式÷①式解得：R=2R₀，即R₀=$\frac{1}{2}$R；
由此可知，在第2个电路中，因两电阻相等，根据分压原理可知，两电阻的电压相等均为6V，、
故电源电压为：U=U_R0+U₂=6V+6V=12V；
（2）当移动滑动变阻器的滑片P至最左端时，R₀的电压为电源电压达到最大，R₀的功率最大，
则R₀的最大功率为：
P₀=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{0}}$=$\frac{（12V）^{2}}{{R}_{0}}$---------③
R₀与变阻器串联，根据电阻的串联规律和欧姆定律可得，电路中的电流：
I=$\frac{U}{R+{R}_{0}}$，
则变阻器R的电功率：P=I²R=（$\frac{U}{R{+R}_{0}}$）²R=$\frac{{U}^{2}}{\frac{（R+{R}_{0}）^{2}}{R}}$=$\frac{{U}^{2}}{\frac{（R-{R}_{0}）^{2}+4R{R}_{0}}{R}}$=$\frac{{U}^{2}}{\frac{（R-{R}_{0}）^{2}}{R}+4{R}_{0}}$，
由上式可知，当R=R₀时，R的电功率P最大，其电功率的最大值：
P=$\frac{{U}^{2}}{4{R}_{0}}$=$\frac{（12V）^{2}}{4{R}_{0}}$-----------④，
则P₀：P=$\frac{（12V）^{2}}{{R}_{0}}$：$\frac{（12V）^{2}}{4{R}_{0}}$=4：1．
故答案为：12；4：1．

点评 本题考查串联电路的规律和欧姆定律及电功率公式的灵活运用，关键是根据数学知识确定有最大功率的条件，体现了数学知识在物理中的运用，难度较大．