Question

14．如图所示，起重机将一箱设备沿竖直方向匀速吊装到施工高台上，设备重4000N，施工台距离地面的高度为3m．动滑轮上每段钢绳的拉力是2500N．（取g=10N/kg）
求：（1）起重机的质量为8t，工作时用支架将汽车的轮胎支离开地面．如果地面能承受的最大压强是7×10⁴Pa，支架与地面接触的总面积是多少？
（2）起重臂OA长12m，且与水平方向夹角为30°．支撑臂与起重臂垂直，作用点为B，且OB=4m，求支撑臂给起重臂的支持力（忽略起重臂自重，cos30°≈0.87）．
（3）起重机做功的机械效率．

Answer 1

分析 （1）支架对地面的压力等于起重机重和设备重之和，又知道地面能承受的最大压强，根据压强公式求出支架与地面接触的总面积；
（2）作用在A点的力是两股绳子的拉力，利用三角函数可表示出阻力力臂的长，再利用杠杆的平衡条件可求出支撑臂给起重臂支持力的大小；
（3）根据s=nh求出绳子自由端移动的距离，利用W=Gh求出有用功，利用W=Fs求出总功，总功减去有用功即为额外功，然后利用效率公式求出起重机的机械效率．

解答 解：（1）起重机的重力：
G₁=m₁g=8×10³kg×10N/kg=8×10⁴N，
设备重：
G₂=4000N，
起重机对地的压力：
F=G₁+G₂=8×10⁴N+4000N=8.4×10⁴N，
根据压强公式p=$\frac{F}{S}$可得，支架的与地的最小接触面积
S=$\frac{F}{p}$=$\frac{8.4×1{0}^{4}N}{7×1{0}^{4}Pa}$=1.2m²；
（2）作用在A点的力：
F_A=2F=2×2500N=5000N，
由图可知力F_A的力臂：
l_A=OAcos30°=12m×0.87=10.44m，
根据杠杆平衡条件可得：
F_B=$\frac{{F}_{A}{l}_{A}}{{l}_{B}}$=$\frac{5000N×10.44m}{4m}$=13050N；
（3）绳子自由端移动的距离：
s=2h=2×3m=6m，
拉力做的有用功：
W_有=Gh=4000N×3m=1.2×10⁴J，
拉力做的总功：
W_总=Fs=2500N×6m=1.5×10⁴J，
额外功：
W_额=W_总-W_有=1.5×10⁴J-1.2×10⁴J=3000J，
起重机的机械效率：
η=$\frac{{W}_{有}}{{W}_{总}}$×100%=$\frac{1.2×1{0}^{4}J}{1.5×1{0}^{4}J}$×100%=80%．
答：（1）支架与地面接触的总面积是1.2m²；
（2）支撑臂给起重臂的支持力为13050N；
（3）起重机做的额外功为3000J，机械效率为80%．

点评 本题中综合考查了多个力学公式的运用，包括功、功率、机械效率、压强、杠杆的平衡条件等，同时还有对滑轮的分析、杠杆的分析、三角函数的应用等，综合性较强，值得我们认真思考．