Question

9．如图的电路中，滑动变阻器R₂的最大阻值较大且未知，当滑片位于中间位置时，只闭合S₁，R₂的电功率为27W，电流表示数为I₁，电压表示数为U₁；保持滑片位置不动，只闭合S₃，R₂的电功率为12W，电流表示数为I₂，电压表示数为U₂；当开关S₁、S₂、S₃都闭合，电流表示数为9A．已知U₁：U₂=3：4，R₁=3Ω．求：
（1）求I₁与I₂的比值；                 
（2）求R₃的阻值；
（3）闭合不同的开关，滑动变阻器的滑片置于不同位置时，电路消耗的功率不同，则电路消耗的最小功率与最大电功率之比为多少？

Answer 1

分析 （1）当滑片位于中间位置时，只闭合S₁，R₁和R₂串联接入电路中；只闭合S₃，R₃和R₂串联接入电路中；根据公式P=I²R分析电流之比；
（2）根据电路特点和欧姆定律，表示出电压表示数的关系式，然后对比分析；
（3）当开关S₁、S₂、S₃都闭合，该电路为并联电路，根据并联电路的电流规律求出电源电压；
只闭合S₁，根据P=I²R和I=$\frac{U}{R}$表示出R₂功率，计算出R₂的最大值；
电源电压一定，由P=$\frac{{U}^{2}}{R}$知电路中电阻最小和最大时，电路消耗功率有最小和最大值，由图分析解答．

解答 解：
（1）由图知，当滑片位于中间位置时，只闭合S₁，R₁和R₂串联，
此时R₂的电功率为27W，即P₂=I₁²R₂；
由图知，只闭合S₃，保持滑片位置不动，R₃和R₂串联接入电路中，
此时R₂的电功率为12W，即P₂′=I₂²R₂；
所以I₁与I₂的比值：I₁：I₂=$\sqrt{\frac{{P}_{2}}{{R}_{2}}}$：$\sqrt{\frac{{P}_{2}′}{{R}_{2}}}$=$\sqrt{{P}_{2}}$：$\sqrt{{P}_{2}′}$=$\sqrt{27W}$：$\sqrt{12W}$=3：2；
（2）只闭合S₁，R₁和R₂串联，电压表测量的是R₁两端的电压，则：U₁=I₁R₁；
只闭合S₃，R₃和R₂串联，电压表测量的是R₃两端的电压，则U₂=I₂R₃；
由题知，U₁：U₂=3：4，
即：U₁：U₂=I₁R₁：I₂R₃=3：4，
将I₁：I₂=3：2带入上式可得：R₃=2R₁=2×3Ω=6Ω；
（3）当开关S₁、S₂、S₃都闭合，R₁、R₃并联接入电路中，
由并联电路特点和欧姆定律可得，干路电流：
I=$\frac{U}{{R}_{1}}$+$\frac{U}{{R}_{2}}$，
即：9A=$\frac{U}{3Ω}$+$\frac{U}{6Ω}$，解得电源电压U=18V；
滑片位于中间位置时，只闭合S₁，根据P=I²R和I=$\frac{U}{R}$可得R₂功率：P₂=I₁²R₂=（$\frac{U}{{R}_{1}+{R}_{2}}$）²R₂，
即：（$\frac{18V}{3Ω+{R}_{3}}$）²R₂=27W，解得：R₂=3Ω，
所以滑动变阻器的最大值：R_2最大=6Ω；
由图知，只闭合S₃，R₃和R₂串联且滑片滑到最大值处时电路中电阻最大，R_最大=R_2最大+R₃=6Ω+6Ω=12Ω，
当当开关S₁、S₂、S₃都闭合，R₁、R₃并联接入电路时电路中电阻最小，R_最小=$\frac{{R}_{1}{R}_{3}}{{R}_{1}+{R}_{3}}$=$\frac{3Ω×6Ω}{3Ω+6Ω}$=2Ω，
电源电压一定，由P=$\frac{{U}^{2}}{R}$可得电路消耗的最小和最大功率：
P_最小：P_最大=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{最大}}$：$\frac{{U}^{2}}{{R}_{最小}}$=$\frac{{R}_{最小}}{{R}_{最大}}$=$\frac{2Ω}{12Ω}$=$\frac{1}{6}$．
答：（1）I₁与I₂的比值为3：2；
（2）R₃的阻值为6Ω；
（3）电路消耗的最小功率与最大电功率之比为1：6．

点评 本题考查了串联、并联电路的特点和欧姆定律、电功率公式的应用，综合性比较强，能判断出电路的最小和最大功率是本题的难点．