Question

9．一个圆柱形容器放在水平桌面上，如图甲所示，容器中立放着一个均匀实心圆柱体M，现慢慢向容器中加水，加入的水对容器底的压强p_水与所加水的质量m的关系如图丙所示，容器足够高，在整个过程中无水溢出，M的底面始终与容器中的水面平行．当加入的水等于3kg时，物体M刚好漂浮且露出水面的高度为4cm，如图乙所示（已知ρ_水=1.0×10³kg/m³）．求：

（1）求圆柱体M刚好漂浮时容器中水的深度；
（2）求圆柱体M的密度；
（3）当容器中加入足够多的水后，把正方体放在圆柱体M上，圆柱体刚好浸没，则该正方体的重力为多少？

Answer 1

分析 （1）圆柱体M刚好漂浮时加入的水等于3kg时，由图读出此时的水的压强，利用p=ρgh求出水的深度；
（2）根据物体M刚好漂浮且露在水面外的长度和水的深度，即可求出M的高度H，
物体M刚好漂浮时浮力与重力，利用阿基米德原理和密度公式列出等式即可求出M的密度ρ_M；
（3）利用p=ρgh求出此时水的深度，根据加入的水等于7kg与3kg时压强的变化和所加水的质量m的变化求出圆柱体的底面积．然后可求圆柱体的体积，圆柱体刚好浸没在水中时，圆柱体重加上正方体重等于圆柱体受到的浮力，据此求正方体重力．

解答 解：（1）当加入的水m_水=3kg时，p_水=0.6×10³Pa，
由p=ρgh可得，水的深度h=$\frac{{p}_{水}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{0.6×1{0}^{3}Pa}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=0.06m=6cm；
（2）由于物体M刚好漂浮且露出水面的高度为4cm，则物体M的高度H=h+h_露=6cm+4cm=10cm；
由漂浮条件可知：F_浮=G，
即：ρ_水V_排g=ρ_物V_物g，
则ρ_水Sh_浸g=ρ_物SHg，
所以ρ_物=$\frac{{h}_{浸}}{H}$ρ_水=$\frac{6cm}{10cm}$×1×10³ kg/m³=0.6×10³kg/m³；
（3）由ρ=$\frac{m}{V}$可得，
3kg水的体积V_水=$\frac{{m}_{水}}{{ρ}_{水}}$=$\frac{3kg}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$=3×10^-3m³，
圆柱体周围的水的底面积S_水=$\frac{{V}_{水}}{h}$=$\frac{3×1{0}^{-3}{m}^{3}}{0.06m}$=0.05m²，
由于加入的水等于7kg与3kg时压强分别为1.0×10³Pa、0.6×10³Pa，
由p=$\frac{F}{S}$=$\frac{G}{S}$得：
容器的底面积S=$\frac{△G}{△p}$=$\frac{△mg}{△p}$=$\frac{（7kg-3kg）×10N/kg}{1.0×1{0}^{3}Pa-0.6×1{0}^{3}Pa}$=0.1m²．
圆柱体的底面积S_圆柱体=S-S_水=0.1m²-0.05m²=0.05m²，
则圆柱体的体积V=Sh=0.05m²×0.1m=0.005m³，
F_浮=ρ_水gV_排=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.005m³=50N
圆柱体M的重力G_M=mg=ρVg=0.6×10³kg/m³×0.005m³×10N/kg=30N，
G_正方体=F_浮-G_M=50N-30N=20N．
答：（1）圆柱体M刚好漂浮时容器中水的深度为6cm；
（2）圆柱体M的密度为0.6×10³kg/m³；
（3）该正方体的重力为20N．

点评 本题考查了学生对密度公式、液体压强公式、压强定义式的掌握和运用，难点根据水的压强的增加量和加水的质量求出底面积．