Question

17．由相同的电阻和相同的电压表组成一个如图所示的电路，第一个和第三个电压表的读数分别为U₁=10V，U₃=8V．则第二个电压表的读数是4（$\sqrt{10}$-1）伏．

Answer 1

分析 从电路图的最右侧开始，根据串并联电路的电流特点和欧姆定律表示出电压表V₁的示数，然后得出等式求出电压表电阻与R的关系，最后求出第二个电压表的读数．

解答 解：如图所示：

最右侧，R与R_V串联，该支路的电流：
I₁=$\frac{{U}_{V3}}{{R}_{V}}$=$\frac{8V}{{R}_{V}}$，
R与V₃串联后与V₂并联时，并联部分的电压：
U_V2=U_并1=U₁+U_V3=I₁R+U_V3=$\frac{8V}{{R}_{V}}$×R+8V=$\frac{8V×（R+{R}_{V}）}{{R}_{V}}$，
通过V₂的电流：
I₂=$\frac{{U}_{并1}}{{R}_{V}}$=$\frac{8V×（R+{R}_{V}）}{{{R}_{V}}^{2}}$，
通过中间R的电流：
I=I₁+I₂=$\frac{8V}{{R}_{V}}$+$\frac{8V×（R+{R}_{V}）}{{{R}_{V}}^{2}}$=$\frac{8V×（R+{2R}_{V}）}{{{R}_{V}}^{2}}$，
则U_V1=U₂+U_V2=IR+U_V2=$\frac{8V×（R+{2R}_{V}）}{{{R}_{V}}^{2}}$×R+$\frac{8V×（R+{R}_{V}）}{{R}_{V}}$=10V，
整理可得：4R²+12RR_V-R_V²=0，
解得：R=$\frac{-3+\sqrt{10}}{2}$R_V，R=$\frac{-3-\sqrt{10}}{2}$R_V（舍去），
则第二个电压表的读数：
U_V2=U₁+U_V3=$\frac{8V}{{R}_{V}}$×R+8V=$\frac{8V}{{R}_{V}}$×$\frac{-3+\sqrt{10}}{2}$R_V+8V=4（$\sqrt{10}$-1）V．
故答案为：4（$\sqrt{10}$-1）．

点评 本题考查了串并联电路的特点和欧姆定律的应用，分清电路的结构得出等式是解题的关键，难点是解方程得出电压表内阻与电阻R的阻值关系．