Question

10．如图所示，电源电压不变，滑动变阻器的最大阻值R=20Ω，当开关S₁、S₂均闭合，滑片P置于滑动变阻器的a端时，电阻R₁消耗的电功率为P₁，电流表的示数为I₁，当开关S₁断开，S₂闭合，滑片P置于b端时，电阻R₁消耗的电功率为P₁′，电流表示数为I₁′，若P₁：P₁′=9：1，I₁：I₁′=6：1，求R₁、R₂的阻值各多少欧？

Answer 1

分析 （1）当开关S₁、S₂均闭合，滑片P置于滑动变阻器的a端时，滑动变阻器没有阻值连入电路，R₁与R₂并联在电源两端，根据P=$\frac{{U}^{2}}{R}$和电源的电压得出电阻R₁消耗的电功率为P₁；
当开关S₁断开，S₂闭合，滑片P置于b端时，滑动变阻器全部阻值连入电路与R₁串联，根据串联电路的特点和欧姆定律表示出串联时的电流I₁′，利用P=IR表示出电阻R₁消耗的电功率为P₁′；
最后根据P₁：P₁′的比值即可求出R₁；
（2）根据并联电路的特点和欧姆定律表示出干路电流I₁，根据I₁：I₁′的比值即可求出R₂．

解答 解：当开关S₁、S₂均闭合，滑片P置于滑动变阻器的a端时，滑动变阻器没有阻值连入电路，R₁与R₂并联在电源两端，
则R₁消耗的电功率为P₁=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{1}}$，
当开关S₁断开，S₂闭合，滑片P置于b端时，电阻R₁消耗的电功率为P₁′，滑动变阻器全部阻值连入电路与R₁串联，
由串联电路的总阻值等于各电阻之和得：R_总=R₁+R，
则此时电路中的电流为I₁′=$\frac{U}{{R}_{总}}$=$\frac{{U}^{\;}}{{R}_{1}+R}$；
R₁消耗的功率P₁′=（I₁′）²R₁=（$\frac{{U}^{\;}}{{R}_{1}+R}$）²R₁．
由题干可知：P₁：P₁′=9：1，
即：$\frac{{U}^{2}}{{R}_{1}}$：（$\frac{{U}^{\;}}{{R}_{1}+R}$）²R₁=9：1，
所以，$\frac{{U}^{2}}{{R}_{1}}$：（$\frac{{U}^{\;}}{{R}_{1}+20Ω}$）²R₁=9：1，
解得：R₁=10Ω，R₁=-5Ω（舍去）．
R₁与R₂并联时，由串联电路的干路电流等于各支路电流之和得：
干路电流I₁=$\frac{U}{{R}_{1}}$+$\frac{U}{{R}_{2}}$，
由题干可知：I₁：I₁′=6：1，
即：（$\frac{{U}^{\;}}{{R}_{1}}$+$\frac{{U}^{\;}}{{R}_{2}}$）：$\frac{{U}^{\;}}{{R}_{1}+R}$=6：1，
所以，（$\frac{{U}^{\;}}{{10Ω}_{\;}}$+$\frac{{U}^{\;}}{{R}_{2}}$）：$\frac{{U}^{\;}}{{10Ω}_{\;}+20Ω}$=6：1，
解得：R₂=10Ω．
答：R₁、R₂的阻值都为10Ω．

点评 本题考查串并联电路的特点和欧姆定律的应用，将欧姆定律的公式和电功率公式相结合得出的推导式是解答本题的关键．