Question

13．放在水平桌面上的底面积直径为 D 的圆柱形容器中装有适量的水，现将一质量为 m 的木块 A 放入水中，木块 A 漂浮，它露出水面的部分是它总体积的 1/n，如图（甲）所 示；将一体积为 V 的金属块 B 放在木块 A 上，木块恰好浸没在水中，如图（乙）所示；若将金属块 B 放入某种液体中，容器底对金属块 B 的支持力是 F，如图（丙）所示．
（1）画出图（甲）中木块 A 在竖直方向上的受力示意图．
（2）图（乙）相比于未放金属块 B 之前的图（甲），水对容器底的压强增加了多 少？
（3）图（丙）中容器中液体的密度为多少？

Answer 1

分析 （1）首先分析出物体A受到的两个力：重力和浮力，然后根据物体的浮沉条件判断出重力和浮力的大小关系，根据力的示意图的画法表示出两个力；
（2）根据A在水中情况，求出A的密度，由V=$\frac{m}{ρ}$求出其体积，根据物体A的体积求出A全部浸没时水上升的体积，再根据△h=$\frac{V}{S}$可求出水面的变化，从而可求出容器底所受压强的变化；
（3）物体漂浮时受到的浮力和自身的重力相等，根据G=mg和漂浮条件得出甲乙两图的等式，两式相比即可求出物体B的质量；
对丙图中B物体受力分析可知，受到竖直向上的浮力和支持力、竖直向下的重力，根据力的平衡条件求出受到的浮力，再根据阿基米德原理求出液体的密度．

解答 解：
（1）因为物体A漂浮在水中，所以物体A受到的浮力和重力大小相等，浮力方向竖直向上，重力方向竖直向下，作用点都画在重心处，如图所示：

（2）在甲图中，因为A漂浮，则受到的浮力与重力相等，即F_浮=G，
根据阿基米德原理和重力公式可得：ρ_水g（1-$\frac{1}{n}$）V_A=m_Ag=ρ_AV_Ag；
解得：ρ_A=$\frac{n-1}{n}$ρ_水；
由ρ=$\frac{m}{V}$得，A的体积为：V_A=$\frac{m}{{ρ}_{A}}$=$\frac{m}{\frac{n-1}{n}{ρ}_{水}}$=$\frac{n}{（n-1）{ρ}_{水}}$m；
容器的底面积为：S=π（$\frac{D}{2}$）²=$\frac{π{D}^{2}}{4}$；
由图乙知，A恰好完全浸没，
所以，放上金属块B后，A排开水的体积的增加量：△V=$\frac{1}{n}$V_A=$\frac{1}{n}$×$\frac{n}{（n-1）{ρ}_{水}}$m=$\frac{1}{（n-1）{ρ}_{水}}$m；
此时水面上升的高度为：△h=$\frac{△V}{S}$=$\frac{\frac{1}{（n-1）{ρ}_{水}}m}{\frac{π{D}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{（n-1）π{D}^{2}{ρ}_{水}}$m；
则水对容器底的压强增加量：△p=ρ_水g△h=ρ_水g$\frac{4}{（n-1）π{D}^{2}{ρ}_{水}}$m=$\frac{4}{（n-1）π{D}^{2}}$mg；
（3）图甲中，A物体漂浮，由阿基米德原理和漂浮条件可得：
F_浮A=ρ_水gV_排=ρ_水g×（1-$\frac{1}{n}$）V_A=m_Ag，
所以，$\frac{n-1}{n}$ρ_水V_A=m_A--------①
图乙中，AB的整体漂浮，所以F_浮AB=ρ_水gV_排′=ρ_水gV_A=（m_A+m_B）g，
即ρ_水V_A=m_A+m_B--------②
由①②可得B物体的质量：m_B=$\frac{1}{n}$ρ_水V_A=$\frac{1}{n}$ρ_水×$\frac{n}{（n-1）{ρ}_{水}}$m=$\frac{1}{n-1}$m；
丙图中B物体受到竖直向上的浮力和支持力、竖直向下的重力，
由力的平衡条件可得：F_浮B+F=G_B=m_Bg，
即ρ_液gV+F=$\frac{1}{n-1}$mg；
解得此液体的密度为：ρ_液=$\frac{\frac{1}{n-1}mg-F}{Vg}$．
答：（1）见上图；
（2）图（乙）相比于未放金属块 B 之前的图（甲），水对容器底的压强增加了$\frac{4}{（n-1）π{D}^{2}}$mg；
（3）图（丙）中容器中液体的密度为$\frac{\frac{1}{n-1}mg-F}{Vg}$．

点评 本题考查了物体漂浮的条件和阿基米德原理、受力分析、力的平衡条件、重力公式的应用，综合性强，具有一定的难度，要注意知道物体浸没时排开液体的体积和本身的体积相等．