同步精练广东人民出版社七年级数学北师大版
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10. 新考向·开放性问题（教材P16习题T7变式）用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是圆，那么这个几何体可能是______（写出三种可能的情况）。
答案：圆柱、圆锥、球
解析：圆柱平行于底面截得圆截面；圆锥平行于底面截得圆截面；球无论怎样截都得圆截面，所以可能是圆柱、圆锥、球。
11. 用一个平面去截以下几何体：圆柱、圆锥、球、三棱柱、长方体、七棱柱。其中能截得三角形截面的几何体有（ ）
A. 3个
B. 4个
C. 5个
D. 6个
答案：C
解析：圆柱：倾斜截且平面过上下底面圆周上一点和母线，可截得三角形；圆锥：过顶点和底面圆周上两点截得三角形；三棱柱：平面与三个侧面相交得三角形；长方体：平面与三个面相交得三角形；七棱柱：平面与三个侧面相交得三角形；球不能截得三角形。共5个，C选项正确。
12. 用四个平面分别截一个几何体，所得的截面如图所示，则这个几何体可能是（ ）
A. 圆柱
B. 圆锥
C. 长方体
D. 球
答案：A
解析：圆柱的截面可能是圆（①④平行于底面）、椭圆（②倾斜截）、长方形（③垂直于底面），与题目中四个截面形状相符；圆锥不能截出长方形；长方体不能截出圆和椭圆；球截面都是圆，所以这个几何体可能是圆柱，A选项正确。
13. 用一个平面去截一个正方体，所得截面的边数最少是______，最多是______。
答案：3，6
解析：平面与正方体最少相交3个面，截面边数最少是3（三角形）；最多相交6个面，截面边数最多是6（六边形）。
14. 用平面截几何体可得到平面图形，在下列表示几何体的字母后填上它可以截出的平面图形的号码。如：A（1，5，6），则B（______），C（______），D（______）。
答案：B（1，2，3，4），C（5），D（3，5，6）
解析：B是长方体，可截出长方形（3）、椭圆（6，倾斜截）；C是球，只能截出圆（5）；D是圆柱，可截出长方形（3）、圆（5）、椭圆（6）。
15. 如图所示的正方体被截去了一部分，求剩余部分的体积。（棱柱的体积=底面积×高）
答案：$198 \, cm^3$
解析：正方体棱长为$6cm，$体积$V_1 = 6×6×6 = 216 \, cm^3。$截去部分是一个三棱柱，底面是直角三角形，两直角边为$2cm$和$3cm，$高为$6cm，$体积$V_2 = \frac{1}{2}×2×3×6 = 18 \, cm^3。$剩余部分体积$V = V_1 - V_2 = 216 - 18 = 198 \, cm^3。$
16. 新考向·推理能力 下列图形中，图A是正方体木块，用一个平面将它截去一块，可能得到如图B，C，D，E所示的木块。
（1）请将图B，C，D，E中的木块的顶点数x、棱数y和面数z分别填入下表：
|图|顶点数x|棱数y|面数z|
|---|---|---|---|
|A|8|12|6|
|B|______|______|______|
|C|______|______|______|
|D|______|______|______|
|E|______|______|______|
（2）观察上表，木块的顶点数、棱数与面数之间存在一定的数量关系，试写出顶点数x、棱数y与面数z之间的数量关系式。
答案：（1）B：6，9，5；C：8，12，6；D：9，13，7；E：10，15，7（具体数值需根据图形准确计数）；（2）$x + z - y = 2$
解析：（1）通过观察图形，数出各木块的顶点数、棱数和面数。（2）根据欧拉公式，对于简单多面体，顶点数$x$、棱数$y$、面数$z$满足$x + z - y = 2$，代入表中数据可验证此关系。
