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2025年本土假期作业巩固训练八年级数学
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专题 1 分式相关概念
知识清单
1. 分式的概念
整式 A 除以整式 B 可以表示成$\frac{A}{B}$的形式.如果除式 B 中
含有字母
，那么称$\frac{A}{B}$为分式，其中 A 称为分式的分子，B 称为分式的分母，对于任意一个分式，分母都
不能为零
.
2. 分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值
不变
.用式子表示：$\frac{A}{B}=\frac{A×m}{B×m}=\frac{A÷m}{B÷m}(m≠0,B≠0)$.
3. 最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时叫最简分式.
答案：1. 含有字母；不能为零
2. 不变
例 1 在$\frac{1}{x},\frac{1}{3},\frac{x^{2}+1}{x},\frac{3xy}{π},\frac{1}{x+y},1+\frac{2}{x}$中,分式的个数是( )
A.5 个
B.4 个
C.3 个
D.2 个
答案：解：根据分式的定义，形如$\frac{A}{B}$（A、B是整式，B中含有字母且B≠0）的式子叫做分式。
在给出的式子中：
$\frac{1}{x}$：分母含有字母x，是分式；
$\frac{1}{3}$：分母为常数3，不是分式；
$\frac{x^{2}+1}{x}$：分母含有字母x，是分式；
$\frac{3xy}{π}$：分母π是常数，不是分式；
$\frac{1}{x+y}$：分母含有字母x、y，是分式；
$1+\frac{2}{x}$：可变形为$\frac{x+2}{x}$，分母含有字母x，是分式。
综上，分式有$\frac{1}{x},\frac{x^{2}+1}{x},\frac{1}{x+y},1+\frac{2}{x}$，共4个。
答案：B
例 2 下列分式中,当 a 取任何实数时,该分式总有意义的是( )
A.$\frac{a - 1}{a}$
B.$\frac{a - 1}{a^{2}}$
C.$\frac{a}{a^{2}-1}$
D.$\frac{a}{a^{2}+1}$
答案：解：分式有意义的条件是分母不为0。
A. 当$a=0$时，分母$a=0$，分式无意义；
B. 当$a=0$时，分母$a^2=0$，分式无意义；
C. 当$a=\pm1$时，分母$a^2 - 1=0$，分式无意义；
D. 因为$a^2\geq0$，所以$a^2 + 1\geq1 ＞ 0$，分母始终不为0，分式总有意义。
故选D。
例 3 分式$\frac{x + 5}{x - 2}$的值是零,则 x 的值为( )
A.2
B.5
C.-2
D.-5
答案：【解析】：
本题主要考查分式值为零的条件，即分子等于零且分母不等于零。
根据题目，我们有分式 $\frac{x + 5}{x - 2}$，需要找到 $x$ 的值使得该分式的值为零。
首先，我们设置分子等于零，即 $x + 5 = 0$，解得 $x = -5$。
然后，我们需要验证分母 $x - 2$ 不等于零，当 $x = -5$ 时，$x - 2 = -5 - 2 = -7 \neq 0$。
因此，当 $x = -5$ 时，分式 $\frac{x + 5}{x - 2}$ 的值为零。
【答案】：
D. $-5$
例 4 若 x,y 的值均扩大为原来的 3 倍,则下列分式的值保持不变的是( )
A.$\frac{2 + x}{x - y}$
B.$\frac{2y}{x^{2}}$
C.$\frac{2y^{3}}{3x^{2}}$
D.$\frac{2y^{2}}{(x - y)^{2}}$
答案：解：将x，y的值均扩大为原来的3倍，分别代入各选项：
A. $\frac{2 + 3x}{3x - 3y} = \frac{2 + 3x}{3(x - y)} ≠ \frac{2 + x}{x - y}$，故A错误；
B. $\frac{2×3y}{(3x)^2} = \frac{6y}{9x^2} = \frac{2y}{3x^2} ≠ \frac{2y}{x^2}$，故B错误；
C. $\frac{2×(3y)^3}{3×(3x)^2} = \frac{2×27y^3}{3×9x^2} = \frac{54y^3}{27x^2} = \frac{2y^3}{x^2} ≠ \frac{2y^3}{3x^2}$，故C错误；
D. $\frac{2×(3y)^2}{(3x - 3y)^2} = \frac{2×9y^2}{9(x - y)^2} = \frac{18y^2}{9(x - y)^2} = \frac{2y^2}{(x - y)^2}$，故D正确。
答案：D
1. 若分式$\frac{x}{x - 2}$有意义,则 x 的取值范围是(
D
)
A.$x＞2$
B.$x≠0$
C.$x≠0且x≠2$
D.$x≠2$
答案：【解析】：
本题主要考察分式有意义的条件，即分母不能为0。
对于分式$\frac{x}{x - 2}$，其分母为$x - 2$。
要使分式有意义，需满足条件：$x - 2 \neq 0$，
解这个不等式，得到：$x \neq 2$。
根据这个结论，可以判断选项。
A. $x＞2$：这个条件过于严格，因为$x$只要不等于2即可，不一定大于2，所以A选项错误。
B. $x≠0$：这个条件没有考虑到分母$x - 2$不能为0的要求，所以B选项错误。
C. $x≠0且x≠2$：这个条件虽然包含了$x \neq 2$，但也加入了不必要的$x \neq 0$，所以C选项错误。
D. $x≠2$：这个条件正好符合分母不能为0的要求，所以D选项正确。
【答案】：D。
