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2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册
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课时构建
元素与集合的概念
(1) 元素，集合
(2) 确定性，互异性，无序性
(3) 相等
元素与集合的关系
属于： 如果 $a$ 是集合 $A$ 的元素, 就说 $a$ 属于集合 $A$， $a \in A$
不属于： 如果 $a$ 不是集合 $A$ 的元素, 就说 $a$ 不属于集合 $A$， $a \notin A$
常用数集及其记法
非负整数集 (或自然数集)：$\mathbf{N}$
正整数集： $\mathbf{N}^{*}$ 或 $\mathbf{N}^{+}$
整数集： $\mathbf{Z}$
有理数集： $\mathbf{Q}$
实数集： $\mathbf{R}$
答案：元素与集合的概念
(1) 元素，集合
(2) 确定性，互异性，无序性
(3) 相等
元素与集合的关系
属于： 如果 $a$ 是集合 $A$ 的元素, 就说 $a$ 属于集合 $A$， $a \in A$
不属于： 如果 $a$ 不是集合 $A$ 的元素, 就说 $a$ 不属于集合 $A$， $a \notin A$
常用数集及其记法
非负整数集 (或自然数集)：$\mathbf{N}$
正整数集： $\mathbf{N}^{*}$ 或 $\mathbf{N}^{+}$
整数集： $\mathbf{Z}$
有理数集： $\mathbf{Q}$
实数集： $\mathbf{R}$
例1 下列各组中，集合$ P $与$ Q $表示同一个集合的是(
A
)
A.$ P $是由$ 1 $，$ \sqrt{3} $，$ \pi $构成的集合，$ Q $是由$ \pi $，$ 1 $，$ |-\sqrt{3}| $构成的集合
B.$ P $是由$ \pi $构成的集合，$ Q $是由$ 3.14159 $构成的集合
C.$ P $是由$ 2 $，$ 3 $构成的集合，$ Q $是由有序数对$ (2, 3) $构成的集合
D.$ P $是满足不等式$ -1 \leq x \leq 1 $的自然数$ x $构成的集合，$ Q $是方程$ x^2 = 1 $的解集
答案：A
解析：
A.集合中的元素是无序的，并且$| - \sqrt{3}| = \sqrt{3}$，所以$P = \{ 1,\sqrt{3},\pi\}$，$Q = \{\pi,1,| - \sqrt{3}|\}=\{\pi,1,\sqrt{3}\}$，则$P = Q$，A正确。
B.$P = \{\pi\}$，$Q = \{3.14159\}$，$\pi\neq3.14159$，所以$P\neq Q$，B错误。
C.$P = \{2,3\}$中的元素是数，$Q = \{(2,3)\}$中的元素是有序数对，所以$P\neq Q$，C错误。
D.满足不等式$-1\leq x\leq1$的自然数$x$构成的集合$P = \{0,1\}$，方程$x^{2}=1$的解集$Q = \{ - 1,1\}$，所以$P\neq Q$，D错误。
[多选题] 现有以下说法，其中正确的是(
BD
)
A.接近于$ 0 $的数的全体构成一个集合
B.正方体的全体构成一个集合
C.未来世界的高科技产品构成一个集合
D.不大于$ 3 $的所有自然数构成一个集合
答案：BD
解析：
集合中的元素需满足确定性。A中“接近于0”、C中“未来世界的高科技产品”标准不明确，元素不确定，不能构成集合；B中正方体、D中不大于3的自然数（0,1,2,3）元素确定，可构成集合。
