根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质，设第三边长为x，则有：
7 - 3 ＜ x ＜ 7 + 3，即 4 ＜ x ＜ 10。
选项中只有6满足条件。

由题意得，$\lvert a-4\rvert \geq 0$，$\sqrt{b-2} \geq 0$，要使$\lvert a-4\rvert+\sqrt{b-2}=0$成立，只能$\lvert a - 4\rvert=0$且$\sqrt{b - 2}=0$。
由$\lvert a - 4\rvert=0$，可得$a - 4 = 0$，即$a = 4$；由$\sqrt{b - 2}=0$，可得$b - 2 = 0$，即$b = 2$。
根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，可得$4 - 2\lt c\lt4 + 2$，即$2\lt c\lt6$。
选项中只有$5$满足此条件。

三角形的高是从三角形的一个顶点向它的对边所作的垂直线段，根据定义逐一判断：
选项A中，线段$BE$是从点$B$向$EC$所在直线所作的垂直线段，$EC$与$AC$在同一条直线上，所以线段$BE$是$\triangle ABC$中$BC$（或$AC$所在直线）边上的高（此题问的是$\triangle ABC$的高，$BE$垂直于$AC$所在的直线，符合高的定义），但从常规理解，高的垂足应在边的范围内，这里$E$在$AC$延长线上，不过在初中数学中，三角形高可以是边所在直线的垂线段；
选项B中，线段$BE$的垂足是$E$，$BE$与$AC$不垂直，所以线段$BE$不是$\triangle ABC$的高；
选项C中，线段$BE$的垂足是$A$，不是$\triangle ABC$中$AC$边上的高（高应该是从$B$向$AC$边作垂线，垂足应在$AC$上），此线段$BE$不符合三角形高的定义；
选项D中，线段$BE$是$\triangle EBC$的高，不是$\triangle ABC$的高。
综合来看，线段$BE$是$\triangle ABC$的高的是选项A（在初中数学对三角形高是边所在直线垂线段的定义下）。

本题可根据三角形中线和角平分线的定义来逐一分析各等式是否正确。
判断等式①：$\angle BAD = \angle CAD$是否正确
根据三角形角平分线的定义：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线。
已知$AD$为中线，中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段，并不是角平分线，所以$\angle BAD$与$\angle CAD$不一定相等，故①错误。
判断等式②：$\angle ABE = \angle CBE$是否正确
根据三角形角平分线的定义，因为$BE$为角平分线，所以$BE$将$\angle ABC$分成两个相等的角，即$\angle ABE = \angle CBE$，故②正确。
判断等式③：$BD = DC$是否正确
根据三角形中线的定义：三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。
由于$AD$为中线，所以$D$为$BC$中点，那么$BD = DC$，故③正确。
判断等式④：$AE = EC$是否正确
$BE$为角平分线，角平分线不一定平分对边，只有当三角形是等腰三角形（三线合一）等特殊情况时，角平分线才平分对边，所以$AE$与$EC$不一定相等，故④错误。
综上，②③正确，答案选D。

设AB=AC=2x，则AD=CD=x，底边BC=y。
∵BD为中线，∴AD=CD=x。
中线BD将周长分为15和12两部分，分两种情况：
①若AB+AD=15，BC+CD=12，则3x=15，x+y=12，解得x=5，y=7。此时三边长为10，10，7，符合三角形三边关系。
②若AB+AD=12，BC+CD=15，则3x=12，x+y=15，解得x=4，y=11。此时三边长为8，8，11，符合三角形三边关系。
综上，底边长为7或11。