一元二次方程的一般形式是$ax^{2}+bx+c=0$（$a\neq0$），且只含有一个未知数，未知数的最高次数是$2$，是整式方程。
选项A：当$a = 0$时，方程$ax^{2}+bx + c = 0$不是一元二次方程，所以该选项错误。
选项B：方程$x^{2}-y + 1 = 0$含有两个未知数$x$和$y$，不是一元二次方程，所以该选项错误。
选项C：方程$x^{2}-\frac{1}{x}-2 = 0$中$\frac{1}{x}$是分式，不是整式方程，所以该选项错误。
选项D：将$(x - 1)(x + 2)=1 - x$展开得$x^{2}+2x-x - 2=1 - x$，整理得$x^{2}+2x-3 = 0$，符合一元二次方程的定义，所以该选项正确。

首先将方程左边展开：
$(x - 2)(x + 3) = x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6$。
原方程变为：
$x^2 + x - 6 = 12$。
将方程右边移到左边：
$x^2 + x - 6 - 12 = 0$，
即$x^2 + x - 18 = 0$。
其中$a = 1$。

用配方法解一元二次方程$x^{2}-4x=1$，
在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即$(-4÷2)^{2}=4$，
得到$x^{2}-4x + 4 = 1+4$，而原步骤②中右边没有加$4$，所以开始错误的步骤是②。

A. 对于方程 $n^{2} + 4 = 0$，
移项得：$n^{2} = - 4$，
由于一个实数的平方不可能为负数，所以该方程没有实数根。
B. 对于方程 $m^{2} + m + 3 = 0$，
其判别式为：$\Delta = b^{2} - 4ac = 1^{2} - 4(1)(3) = 1 - 12 = -11 ＜ 0$，
因为判别式小于0，所以该方程没有实数根。
C. 对于方程 $2x^{2} - \sqrt{3}x - 1 = 0$，
其判别式为：$\Delta = b^{2} - 4ac = ( - \sqrt{3})^{2} - 4(2)( - 1) = 3 + 8 = 11 ＞ 0$，
因为判别式大于0，所以该方程有两个不相等的实数根。
D. 对于方程 $5y^{2} + 1 = 2y$，
移项得：$5y^{2} - 2y + 1 = 0$，
其判别式为：$\Delta = b^{2} - 4ac = ( - 2)^{2} - 4(5)(1) = 4 - 20 = - 16 ＜ 0$，
因为判别式小于0，所以该方程没有实数根。
综上所述，只有选项C的方程有实数根。

因为一元二次方程$x^2 - 6x + c = 0$有一个根为$2$，将$x = 2$代入方程得$2^2 - 6×2 + c = 0$，即$4 - 12 + c = 0$，解得$c = 8$。

根据一元二次方程根与系数的关系可知，对于方程$x^2 + 9x + 20 = 0$，其中$a = 1$，$b = 9$，$c = 20$，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}=-9$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=20$。
由$(x_1 - x_2)^2=(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，把$x_1 + x_2 = - 9$，$x_1x_2 = 20$代入可得：$(x_1 - x_2)^2=(-9)^2 - 4×20=81 - 80 = 1$。
所以$x_1 - x_2=\pm1$。