集合$A = \{ x | x \leq 2, x \in \mathbf{N} \} = \{0,1,2\}$，$B = \{ x | x \geq a, x \in \mathbf{N} \}$。因为$A \cap B = \{1,2\}$，所以$a$需满足$0 ＜ a \leq 1$，又因为$a$为整数，故$a = 1$。

由余弦和差公式，$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$，$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$。则$\frac{\cos(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} = \frac{\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta}$，分子分母同除以$\cos\alpha\cos\beta$得$\frac{1 + \tan\alpha\tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$。已知$\tan\alpha\tan\beta = 2$，代入得$\frac{1 + 2}{1 - 2} = -3$。

因为$ f(2)=4 $，函数$ f(x) $在$ x \in [a, +\infty) $时表达式为$ x^2 $，此时$ f(2)=2^2=4 $，所以$ 2 \in [a, +\infty) $，即$ a \leq 2 $。

已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B(n, p)$，其期望 $E[X] = np = 30$，方差 $D[X] = np(1 - p) = 20$。
由 $np = 30$ 和 $np(1 - p) = 20$，两式相除得：
$\frac{np(1 - p)}{np} = \frac{20}{30} \implies 1 - p = \frac{2}{3} \implies p = \frac{1}{3}$

由甲组数据茎叶图可知，甲数据为27，30+m，39（m∈N），共3个数据，中位数为中间数30+m；乙组数据为20+n，32，34，38（n∈N），共4个数据，中位数为(32+34)/2=33。因中位数相等，故30+m=33，得m=3。
甲组平均数为(27+33+39)/3=33。乙组平均数为[(20+n)+32+34+38]/4=33，即(124+n)/4=33，解得n=8。则m/n=3/8。

函数$f(x)=x^{\frac{2}{3}}-x^{-\frac{1}{2}}$的定义域为$x＞0$。由$f(x)＜0$得$x^{\frac{2}{3}}＜x^{-\frac{1}{2}}$，两边同乘$x^{\frac{1}{2}}(x＞0)$得$x^{\frac{7}{6}}＜1$。因为$y=x^{\frac{7}{6}}$在$(0,+\infty)$单调递增，且$1^{\frac{7}{6}}=1$，所以$x＜1$。结合定义域，$x$的取值范围是$(0,1)$。

设$|z - i| = r$，原等式$||z - i| - 2| + |z - i| = 2$可化为$|r - 2| + r = 2$。
当$r\geqslant2$时，$r - 2 + r = 2$，即$2r = 4$，解得$r = 2$。
当$r ＜ 2$时，$2 - r + r = 2$，即$2 = 2$，此式恒成立。
所以$0\leqslant|z - i|\leqslant2$，在复平面内，复数$z$对应的点$Z$到点$(0,1)$的距离的取值范围是$[0,2]$，则点$Z$所构成的图形是以$(0,1)$为圆心，$2$为半径的圆及其内部，根据圆的面积公式$S = \pi R^{2}$（$R$为半径），可得其面积$S = 4\pi$。

设$\theta = ⟨ \vec{a}, \vec{b} \rangle$，则$\theta \in [\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}]$。
向量$\vec{b}$在$\vec{a}$方向上的投影向量$\vec{b_0} = (|\vec{b}| \cos\theta) · \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$。
因为$|\vec{a}| = 1$，$|\vec{b}| = 2$，所以$\vec{b_0} = 2 \cos\theta · \vec{a}$。
又$\vec{b_0} = λ \vec{a}$，故$λ = 2 \cos\theta$。
由于$\theta \in [\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}]$，且$\cos\theta$在$[\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}]$上单调递减，
当$\theta = \frac{\pi}{3}$时，$\cos\theta = \frac{1}{2}$，$λ = 2 × \frac{1}{2} = 1$；
当$\theta = \frac{5\pi}{6}$时，$\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$，$λ = 2 × (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\sqrt{3}$。
因此，$λ$的取值范围是$[-\sqrt{3}, 1]$。

考虑展开式 $\left( x + \frac{1}{x^{2025}} + 1 \right)^{10}$，其通项可以表示为：
$T = \frac{10!}{a!b!c!} x^a \left( \frac{1}{x^{2025}} \right)^b (1)^c$，
其中，$a + b + c = 10$，且 $a, b, c$ 为非负整数。
将 $\left( \frac{1}{x^{2025}} \right)^b$ 代入上式，得到：
$T = \frac{10!}{a!b!c!} x^{a - 2025b} · 1^c$，
为了找到 $x^2$ 项的系数，需要满足条件：
$a - 2025b = 2$，
由于 $a, b$ 都是非负整数，且 $a \leq 10$，唯一满足条件的解是 $b = 0, a = 2$（因为 $2025b$ 必须小于或等于 $a$，且 $a$ 最大为 10）。
当 $b = 0, a = 2$ 时，$c = 10 - a - b = 8$。
因此，$x^2$ 项的系数为：
$\frac{10!}{2!0!8!} = \frac{10 × 9}{2 × 1} = 45$。

在△ABC中，已知AC=2（即b=2），B=π/3，sinA sinC=9/28。由正弦定理得b/sinB=2R（R为外接圆半径），则2/sin(π/3)=2R，解得2R=4/√3。设AB=c，BC=a，由正弦定理知a=2R sinA，c=2R sinC，故ac=(2R)² sinA sinC=(16/3)(9/28)=12/7。由余弦定理b²=a²+c²-2ac cosB，得4=a²+c²-ac，即a²+c²=4+ac=4+12/7=40/7。联立ac=12/7与a²+c²=40/7，解得(a+c)²=64/7，(a-c)²=16/7，即a+c=8/√7，a-c=±4/√7。解得两组解：(a=6/√7,c=2/√7)或(a=2/√7,c=6/√7)。由sinA sinC=9/28验证，当c=6/√7时，sinC=c/(2R)= (6/√7)/(4/√3)=3√21/14，sinA=9/(28 sinC)=√21/14，符合条件。故AB=c=6√7/7。

对于椭圆$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a ＞ b ＞ 0$），离心率$e_1 = \frac{c_1}{a}$，其中$c_1^2 = a^2 - b^2$，则$e_1^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$。
对于双曲线$\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2 - 2b^2} = 1$，需满足$a^2 - 2b^2 ＞ 0$即$a^2 ＞ 2b^2$。其离心率$e_2 = \frac{c_2}{b}$，其中$c_2^2 = b^2 + (a^2 - 2b^2) = a^2 - b^2$，则$e_2^2 = \frac{a^2 - b^2}{b^2} = \frac{a^2}{b^2} - 1$。
设$t = \frac{a^2}{b^2}$，则$t ＞ 2$，且$e_1^2 = 1 - \frac{1}{t}$，$e_2^2 = t - 1$。故$e_1e_2 = \sqrt{(1 - \frac{1}{t})(t - 1)} = \frac{t - 1}{\sqrt{t}}$。
由$e_1e_2 ＜ 1$得$\frac{t - 1}{\sqrt{t}} ＜ 1$，令$u = \sqrt{t}$（$u ＞ \sqrt{2}$），则$u^2 - u - 1 ＜ 0$，解得$\sqrt{2} ＜ u ＜ \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$。
因为$\frac{e_2}{e_1} = \sqrt{\frac{e_2^2}{e_1^2}} = \sqrt{\frac{t - 1}{1 - \frac{1}{t}}} = \sqrt{t} = u$，所以$\frac{e_2}{e_1}$的取值范围是$(\sqrt{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2})$。