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2026年长江全能学案同步练习册八年级数学下册人教版
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例 1 下列各式中，一定是二次根式的是(
)
A.$\sqrt{-7}$
B.$\sqrt[3]{2m}$
C.$\sqrt{13x^{2}+7}$
D.$\sqrt[3]{\dfrac{b}{a}}(a≠0)$
【思路导析】先看式子中是否含有二次根号“$\sqrt{\quad}$”，再看其被开方数是否是非负数. A 中含有二次根号“$\sqrt{\quad}$”，但被开方数为$-7$，它不是非负数，故$\sqrt{-7}$不是二次根式；B、D 中含有“$\sqrt[3]{\quad}$”，它不是二次根号，故$\sqrt[3]{2m}$、$\sqrt[3]{\dfrac{b}{a}}(a≠0)$不是二次根式；C 中含有二次根号“$\sqrt{\quad}$”，而且不论$x$为何值，$13x^{2}+7$恒为非负数.
【请你解答】
.
答案：C
解析：
根据二次根式的定义，二次根式需满足含有二次根号且被开方数为非负数。
A选项：$\sqrt{-7}$，被开方数为负数，不是二次根式；
B选项：$\sqrt[3]{2m}$，根指数为3，不是二次根式；
C选项：$\sqrt{13x^{2}+7}$，被开方数$13x^{2}+7$恒为非负数，是二次根式；
D选项：$\sqrt[3]{\dfrac{b}{a}}(a ≠ 0)$，根指数为3，不是二次根式。
例 2 求使下列各式有意义的$x$的取值范围.
(1)$\sqrt{4-x}$；
(2)$\sqrt{-2x}$.
【思路导析】二次根式中的被开方数必须是非负数.
【请你解答】
答案：
(1)
要使$\sqrt{4 - x}$有意义，则被开方数$4 - x$必须是非负数，即：
$4 - x≥0$，
解得$x≤4$。
(2)
要使$\sqrt{-2x}$有意义，则被开方数$-2x$必须是非负数，即：
$-2x≥0$，
解得$x≤0$。
例 3 不论$x$为何值，下列各式中一定有意义的是(
)
A. $\sqrt{-x^{2}}$
B. $\sqrt{x^{2}-1}$
C. $\sqrt{x^{2}+2}$
D. $\sqrt{\dfrac{1}{x^{2}}}$
【探究点拨】$-x^{2}$恒小于或等于$0$，$x^{2}-1$可以大于等于$0$也可以小于$0$，当$x=0$时，$\sqrt{\dfrac{1}{x^{2}}}$没意义，只有$x^{2}+2$恒为非负数.
【规范解答】选 C.
答案：C
解析：
要使二次根式有意义，被开方数必须是非负数。
选项A：$-x^2$，当$x≠0$时，$-x^2＜0$，故$\sqrt{-x^2}$不一定有意义；
选项B：$x^2 - 1$，当$x^2＜1$时，$x^2 - 1＜0$，故$\sqrt{x^2 - 1}$不一定有意义；
选项C：$x^2 + 2$，因为$x^2≥0$，所以$x^2 + 2≥2＞0$，故$\sqrt{x^2 + 2}$一定有意义；
选项D：$\frac{1}{x^2}$，当$x=0$时，$\frac{1}{x^2}$无意义，故$\sqrt{\frac{1}{x^2}}$不一定有意义。
综上，一定有意义的是选项C。
1. 在式子$\sqrt{3}$，$\sqrt{x^{2}+1}$，$\sqrt{a+1}(a＜ -3)$，$\sqrt{\dfrac{y}{2}}(y＞0)$，$\sqrt{-2x}(x＜0)$中，是二次根式的有(
)
A.$2$个
B.$3$个
C.$4$个
D.$5$个
答案：C
解析：
$\sqrt{3}$：被开方数为正数，是二次根式。
$\sqrt{x^{2}+1}$：$x^2 ≥ 0$，所以$x^2+1 ＞ 0$，是二次根式。
$\sqrt{a+1}(a ＜ -3)$：$a ＜ -3$，则$a+1 ＜ -2 ＜ 0$，被开方数为负数，不是二次根式。
$\sqrt{\dfrac{y}{2}}(y ＞ 0)$：$y ＞ 0$，则$\dfrac{y}{2} ＞ 0$，是二次根式。
$\sqrt{-2x}(x ＜ 0)$：$x ＜ 0$，则$-2x ＞ 0$，是二次根式。
综上，是二次根式的有$\sqrt{3}$，$\sqrt{x^{2}+1}$，$\sqrt{\dfrac{y}{2}}(y ＞ 0)$，$\sqrt{-2x}(x ＜ 0)$，共4个。
