Question

【题目】为模拟气缸中活塞压缩气体的热运动的机制，可将气缸中某一气体分子简化成质量为m，并在缸底与活塞之间频繁地来回弹跳的弹性小球。若活塞以恒定速度v移向缸底，如图所示，设分子与活塞和缸底间的碰撞均为弹性碰撞，且分子所受重力可忽略不计。回答下列问题。

(1)开始时分子以速率（）与活塞正碰，求该分子与活塞经过k次碰撞后的速率。

(2)设开始时活塞与缸底相距为l，当活塞移至与缸底相距为x时，分子速率为求此时分子对活塞的平均冲力。

(3)当活塞位置移动时，分子速率也随之变化，求活塞位置χ与分子速率v之间的关系。

(4)活塞位置由l移至x的过程中，外力做功多少？

Answer 1

【答案】(1) (2) (3) (4)

【解析】

(1)由于分子质量比活塞质量小很多，且各次碰撞均为弹性正碰，故知分子每次与缸底相碰后将以原速率返回，而每次与活塞相碰，若其碰前速率为，则其碰后速率为（），即分子每与活塞碰撞一次，其速率就增加2υ。故得分子与活塞经过k次碰撞后的速率为

(2)分子速度为u时，它与活塞碰撞一次动量的变化量约为

。

此时分子连续两次与活塞相碰的时间间隔约为，

故得此时分子受到的平均作用力为

(3)设活塞移至位置x时，分子已与活塞发生过k次碰撞，取（）为此过程中分子一次往返所通过的路程的平均长度，则此过程中分子经过的总路程约为。

又取此过程中分子运动的速率的平均值约为，

则分子运动的总时间为。

由于活塞以v做匀速运动，故应有。

解上式得。

(4)活塞由位置l移至位置x的过程中，活塞自身速度不变，即其动能不变，则外力所做的功全部转化为气缸内分子运动动能的增加量，故有

。