Question

【题目】已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣a|，a∈R． （Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤5的解集为A，且2A，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因为a=1，所以f（x）=|x+1|+|x﹣1|≥|x+1﹣x+1|=2，

当且仅当（x+1）（x﹣1）≤0时，即﹣1≤x≤1时，f（x）的最小值为2．

（Ⅱ）因为2A，所以f（2）＞5，即|a+2|+|a﹣2|＞5，

当a＜﹣2时，不等式可化为﹣a﹣2﹣a+2＞5，解得 ，所以 ；

当﹣2≤a≤2时，不等式可化为a+2﹣a+2＞5，此时无解；

当a＞2时，不等式可化为a+2+a﹣2＞5，解得 ，所以 ；

综上，a的取值范围为

【解析】（Ⅰ）因为a=1，所以f（x）=|x+1|+|x﹣1|≥|x+1﹣x+1|=2，即可求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）因为2A，所以f（2）＞5，即|a+2|+|a﹣2|＞5，分类讨论，即可求a的取值范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用绝对值不等式的解法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．