Question

【题目】已知函数f（x）=|x+3|+|2x﹣4|．
（1）当x∈[﹣3，3]时，解关于x的不等式f（x）＜6；
（2）求证：t∈R，f（x）≥4﹣2t﹣t2 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：当﹣3≤x≤2时，f（x）=x+3﹣（2x﹣4）=﹣x+7，

故原不等式可化为﹣x+7＜6，

解得：x＞1，故1＜x≤2；

当2＜x≤3时，f（x）=x+3+（2x﹣4）=3x﹣1，

故原不等式可化为3x﹣1＜6，解得 ；

综上，可得原不等式的解集为

（2）解：证明： ，

由图象，可知f（x）≥5，

又因为4﹣2t﹣t2=﹣（t+1）2+5≤5，

所以f（x）≥4﹣2t﹣t2

【解析】（1）通过讨论a的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，得到关于t的不等式，证出即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．