【题目】如图所示，两根刚性轻杆
和
在
端牢固黏接在一起，延长线与的夹角
为锐角，杆长为
，杆长为
.在杆的
、和
三点各固连一质量均为
的小球，构成一刚性系统.整个系统放在光滑水平桌面上，桌面上有一固定的光滑竖直挡板.杆延长线与挡板垂直.现使该系统以大小为
、方向沿的速度向挡板平动.在某时刻，小球与挡板碰撞，碰撞结束时球在垂直于挡板方向的分速度为零，且球与挡板不粘连.若使球碰撞后，球先于球与挡板相碰，求夹角应满足的条件.
【答案】
【解析】
如图乙所示，建直角坐标系
，
轴与挡板垂直，
轴与挡板重合.碰撞前体系质心的速度为
，方向沿正方向，以
表示系统的质心，以
和
表示碰撞后质心的速度分量，
表示墙作用于小球
的冲量的大小.
根据质心运动定理有
，①
.②
由①②式得
，
.③
可在质心参考系中考察系统对质心的角动量.在球与挡板碰撞过程中，质心的坐标为
，
.④
球碰挡板前，三小球相对于质心静止，对质心的角动量为零；球碰挡板后，质心相对质心参考系仍是静止的，三小球相对质心参考系的运动是绕质心的转动，若转动角速度为
，则三小球对质心的角动量为
，⑤
式中
、
和
分别是
、
和三球到质心的距离，由图乙可知
.⑥
由⑤⑥式得
.⑦
在碰撞过程中，质心有加速度，质心参考系是非惯性参考系.在质心参考系中考察动力学问题时，必须引入惯性力.但作用于质点系的惯性力的合力通过质心，对质心的力矩等于零，不影响质点系对质心的角动量，故在质心参考系中，相对质心角动量的变化仍取决于作用于球的冲量的冲量矩，即有
.⑧
由⑦⑧式得
.⑨
球相对于质心参考系的速度分量分别为
，⑩
.
球相对固定参考系速度的分量为
.
由③④⑨式得
.
根据题意有
.
由得
.
由⑨式得
.
球若先于球与挡板发生碰撞，则在球与挡板碰撞后，整个系统至少应绕质心转过
角，即杆
至少转到沿方向，如图丙所示.系统绕质心转过所需时间为
.
在此时间内质心沿方向向右移动的距离为
.
若
，
则球先于球与挡板碰撞.
由此可得
，
即.
本题是第29届全国高中物理竞赛复赛试题.
相对于前面两题而言，本题的对象更多，结构更复杂，过程也更多，难度自然也大了不少.但若能紧紧抓住动量、能量、角动量三方面的特性，特别是将动量守恒问题转化为对墙冲击时的冲量问题，灵活运用动量定理，就能正确解答本题；其次则是要盯住系统的质心，运用角动量定理，得到撞后系统绕质心转动的角速度；最后则是根据系统的结构，结合运动规律，完成解答.
实际上，在本题作为考题之前，前面两题已在各竞赛书籍中出现，而本题则是在前面两题基础上，通过对象、过程的增加，推高了试题的难度，但本质上并没有加入新的知识点.值得注意的是，这一命题思路在近年的竞赛命题中较为常见.
阶梯计算系列答案科目：高中地理 来源： 题型：
【题目】横截面为矩形的玻璃棒被弯成如图所示的形状，一束平行光垂直地射入平表面Α上。试确定通过表面Α进入的光全部从表面Β射出的R/d最小值。已知玻璃的折射率为1.5。
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科目：高中地理 来源： 题型：
【题目】读北半球某地区某时地面天气图。
【1】有关甲乙丙丁四地天气状况叙述正确的是
A.甲地吹西南风B.乙地气温较高C.丙地风速最大D.丁地气压最低
【2】图中戊地的天气系统为
A.气旋B.反气旋C.暖锋D.冷锋
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科目：高中地理 来源： 题型：
【题目】下图为某地垂直自然带分布状况和水循环示意图，其中①～④代表水循环的环节。回答下列问题。
【1】甲、乙两地植被类型不同，主要体现了
A.从赤道到两极的地域分异
B.从沿海到内陆的地域分异
C.山地的垂直地域分异
D.非地带性现象
【2】水循环环节①②③④中，受植被覆盖率影响明显的是
A.①②B.③④
C.①③D.②④
【3】下列关于水循环原因和意义的叙述，正确的是
A.水循环的外因是水在常温和常压条件下的三态变化
B.太阳辐射是水循环能量和动力条件的唯一外因
C.海陆间水循环使陆地水不断得到补充，水资源得以再生
D.水循环可在与其联系的各圈层间进行能量交换，但不能进行物质迁移
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科目：高中地理 来源： 题型：
【题目】如图所示，光滑的水平面上放一质量为
、长为
的直杆，一质量为
的质点
以垂直于杆且在水平面内的速度
撞击杆的一端，其碰撞时无动能损失，求碰撞后杆的旋转角速度
、质点碰后的速度
、杆质心的速度
.
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科目：高中地理 来源： 题型：
【题目】下图为某个组团式城市布局图，各城区分散布局，读图完成下面小题。
【1】该城市的布局模式有利于
A.缩短居民出行距离
B.改善城市生态环境
C.加强各区之间联系
D.减少基础设施建设
【2】该城市规划建设物流园区和化工园区，应分别安排在
A.①处和③处B.①处和②处
C.②处和③处D.②处和④处
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科目：高中地理 来源： 题型：
【题目】下图中甲、乙分别是M、N河流上的水文站。据图完成下面小题。
【1】观测发现，M、N河流的径流量有明显的季节变化，下列叙述正确的是( )
A. 防洪任务最重的月份可能是7月
B. M、N两河主要位于温带阔叶阔叶林
C. 大陆沿岸常年受极地东风带影响
D. 大陆沿岸有暖流经过
【2】甲水文站的月平均流量显著大于乙水文站，最可能的原因是M河( )
A. 河流流量年际变化较小B. 上游流域面积较大
C. 植被覆盖率低D. 上游水库多
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科目：高中地理 来源： 题型：
【题目】2014年12月26日，兰新高速铁路(又称兰新客运专线)全线通车，将兰州到乌鲁木齐的行程缩短至不到12小时。读图，完成下列问题。
【1】高速铁路与普通铁路相比( )
A. 周转快，投资小，舒适度提高
B. 速度快，运费低，安全性较差
C. 运费低，运量大，灵活性降低
D. 速度快，效率高，技术要求高
【2】兰新高速铁路建设遇到的最主要障碍是( )
A. 高寒缺氧，冻土广布
B. 戈壁广布，风沙严重
C. 资金匮乏，技术落后
D. 地形崎岖，地震多发
【3】兰新高速铁路建成后( )
①实现了甘肃、西藏、新疆三省区的铁路贯通 ②减轻了兰新线铁路的客运压力 ③实现了西宁和兰州的“同城效应” ④促进了新丝绸之路的经济建设
A. ①②③ B. ①②④
C. ①③④ D. ②③④
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科目：高中地理 来源： 题型：
【题目】某条城市地铁线穿越大河，途经的主要客流集散地。图中示意该地铁线各站点综合服务等级。据此完成下面小题。
【1】地铁站点综合服务等级的高低主要取决于（ ）
A. 站点的用地面积
B. 周边的人流量
C. 站点的信息化水平
D. 周边的环境质量
【2】根据所处区位和地铁站点综合服务等级，推测甲、乙、丙站点沿线区域为 （ ）
A. 中心商务区B. 森林公园
C. 大型住宅区D. 产业园区
【3】该城市空间形态的形成最有可能（ ）
A. 围绕一个核心向四周扩展
B. 沿河流呈条带状延展
C. 围绕多个核心向四周扩展
D. 沿交通线呈条带状延展
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