Question

12．是否存在实数λ，使函数f（x）=x⁴+（2-λ）x²+2-λ在区间（-∞，-2]上是减函数，而在区间[-1，0）上是增函数？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 求导数，f′（x）=2x[2x²+（2-λ）]，可以看出λ≤2时，解f′（x）＜0可得x＜0，从而不满足f（x）在[-1，0）上是增函数，从而可以得出λ＞2，然后可以解f′（x）=0，从而可得到f（x）在$（-∞，-\sqrt{\frac{λ}{2}-1}]$为减函数，在[$-\sqrt{\frac{λ}{2}-1}$，0）为增函数，从而便可得到$\left\{\begin{array}{l}{-2≤-\sqrt{\frac{λ}{2}-1}}\\{-1≥-\sqrt{\frac{λ}{2}-1}}\end{array}\right.$，解该不等式组即可判断满足条件的λ是否存在．

解答 解：f′（x）=4x³+2（2-λ）x；
若λ≤2，令f′（x）=0得，x=0，显然不符合在区间（-∞，-2]上是减函数，在[-1，0）为增函数；
∴λ＞2；
令f′（x）=0得，x=0，或$x=±\sqrt{\frac{λ}{2}-1}$；
∴f（x）在（-∞，$-\sqrt{\frac{λ}{2}-1}$]上是减函数，在[$-\sqrt{\frac{λ}{2}-1}$，0）上是增函数；
∵已知f（x）在（-∞，-2]上是减函数，在[-1，0）上是增函数；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2≤-\sqrt{\frac{λ}{2}-1}}\\{-1≥-\sqrt{\frac{λ}{2}-1}}\end{array}\right.$；
解得4≤λ≤10；
即存在实数λ，使f（x）在（-∞，-2]上是减函数，在[-1，0）上是增函数，且λ的范围为：[4，10]．

点评 考查根据导数符号判断函数单调性及求函数单调区间法方法，解一元二次不等式，以及将高次不等式变成低次不等式求解的方法．