Question

(14分)已知关于x的二次函数f(x)=ax²-8bx+1.

（1）设集合M={1,2,3}和N={-1,1,2,3,4,5}，从集合M中随机取一个数作为a，从N中随机取一个数作为b，求函数y=f(x)在区间[2,+∞)上是增函数的概率；

（2）设点(a,b)是区域内的随机点,求函数y=f(x)在区间[2,+∞)上是增函数的概率.

Answer 1

解（1）∵函数f(x)=ax²-8bx+1的图象的对称轴为x= ,

要使f(x)=ax²-8bx+1在区间[2,+∞)上为增函数，

当且仅当a＞0且≤2,即2b≤a……………………………………………2分

若a=1则b=－1，   若a=2则b=－1，1

若a=3则b=－1，1，；………………………………………………………5分

记事件A为“函数y=f(x)在区间[2,+∞)上是增函数”

则事件A包含基本事件的个数是1+2+2=5

∴所求事件A的概率为P(A)= …………………………………………………7分

（2）由（1）知当且仅当2b≤a且a＞0时，函数f(x)=ax²-8bx+1在区间[2,+∞)上为增函数，

依条件可知试验的全部结果所构成的区域为,

而构成所求事件的区域为三角形AOB部分,如图所示.………9分

由解得交点为B(4,2).……………………11分

∴所求事件的概率为P== = ……………………………………………14分