Question

（本小题满分14分）已知关于x的函数f(x)＝＋bx²＋cx＋bc，其导函数为f⁺(x)。令g(x)＝∣f⁺(x) ∣，记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M。

（Ⅰ）如果函数f(x)在x＝1处有极值-，试确定b、c的值；

（Ⅱ）若∣b∣>1，证明对任意的c，都有M>2；

（Ⅲ）若M≥K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。

Answer 1

（Ⅰ），

（Ⅱ）证明见解析。

（Ⅲ）

解析:

本小题主要考查函数、函数的导数和不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行推理论证的能力和份额类讨论的思想（满分14分）。

（I）解：，由在处有极值，

可得，

解得，或。

若，则，此时没有极值；

若，则，

当变化时，，的变化情况如下表：

				1
		0	+	0
		极小值		极大值

当时，有极大值，故，即为所求。

（Ⅱ）证法1：，

当时，函数的对称轴位于区间之外。

在上的最值在两端点处取得，

故应是和中较大的一个，

即。

证法2（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间之外，

在上的最值在两端点处取得。

故应是和中较大的一个。

假设，则

，将上述两式相加得：

，导致矛盾，。

（Ⅲ）解法1：，

（1）当时，由（Ⅱ）可知；

（2）当时，函数）的对称轴位于区间内，

此时

由有

①若则，

于是

②若，则

于是

综上，对任意的、都有

而当时，在区间上的最大值

故对任意的、恒成立的的最大值为。

解法2：

（1）当时，由（Ⅱ）可知；

（2）当时，函数的对称轴位于区间内，

此时

，即

下同解法1