Question

已知f（x）=(

a2+1

2

)ln(1+x2)+ax．
（1）a=2时，求f（x）的极值；
（2）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；
（3）证明：（1+

1

24

）（1+

1

34

）…(1+

1

n4

)＜e（n∈N^*，n≥2，其中无理数e=2.71828L）

Answer 1

分析：（1）当a=2时，利用导数先求出函数的单调性，然后判断函数的极值．（2）当a＜0时，通过导数判断函数的单调性．（3）利用（2）的结论，通过构造函数，利用方缩法去证明不等式．

解答：解：f′(x)=

(a2+1)x

1+x2

+a=

ax2+(a2+1)x+a

1+x2

=

(ax+1)(x+a)

1+x2

，
（1）当a=2时，f′(x)=

(2x+1)(x+2)

1+x2

．由f'（x）＞0，解得x＞-

1

2

或x＜-2，此时函数递增．
由f'（x）＜0，解得-2＜x＜-

1

2

，此时函数递减．所以当x=-2时，函数取得极大值f(-2)=

5

2

ln5-4，
当x=-

1

2

时，函数取得极小值f(-

1

2

)=

5

2

ln5-1．
（2）当-1＜a＜0时，由f'（x）＞0，解得-a＜x＜-

1

a

，此时函数递增．由f'（x）＜0，解得x＞-

1

a

或x＜-a，此时函数递减．
当a=-1时，f'（x）≤0恒成立，此时函数在R上单调递减．
当a＜-1时，由f'（x）＞0，解得-

1

a

＜x＜-a，此时函数递增．由f'（x）＜0，解得x＜-

1

a

或x＞-a，此时函数递减．
综上：当a=-1时，函数的单调递减区间为R．
     当-1＜a＜0时，增区间为(-a，-

1

a

)，单调减区间为（-∞，-a）和(-

1

a

，+∞)．
      当a＜-1时，增区间为(-

1

a

，-a)，单调减区间为（-a，+∞）和(-∞，-

1

a

)．
（3）由（2）知当a=-1时，函数f（x）在R上单调递减．当x＞0时，f（x）＜f（0），所以ln（1+x²）-x＜0，即ln（1+x²）＜x．
所以ln（1+

1

24

）（1+

1

34

）…(1+

1

n4

)=ln（1+

1

24

）+ln（1+

1

34

）+…+ln(1+

1

n4

)＜

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n

＜1，
所以（1+

1

24

）（1+

1

34

）…(1+

1

n4

)＜e．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，以及利用函数的单调性证明不等式，在证明不等式的过程中使用了方缩放证明不等式，综合性较强，难度较大．