Question

已知f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ，n为正偶数，且a₁，a₂，a₃，…，a_n组成等差数列，又f（1）=n²，f（-1）=n．试比较f（

1

2

）与3的大小．

Answer 1

分析：由题设条件可知2a₁+（n-1）d=2n．再由f（-1）=-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+-a_n-1+a_n=n可解出a₁=1．所以f（

1

2

）=

1

2

+3（

1

2

）²+5（

1

2

）³+7（

1

2

）⁴+…+（2n-1）（

1

2

）ⁿ，再用错位相减法求解即可．

解答：解：∵f（1）=a₁+a₂++a_n=n²．
依题设，有

n(a1+an)

2

=n²，故a₁+a_n=2n，
即2a₁+（n-1）d=2n．
又f（-1）=-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+-a_n-1+a_n=n，
∴

n

2

•d=n，有d=2．进而有2a₁+（n-1）2=2n，解出a₁=1．
于是f（1）=1+3+5+7++（2n-1）．
f（x）=x+3x²+5x³+7x⁴++（2n-1）xⁿ．
∴f（

1

2

）=

1

2

+3（

1

2

）²+5（

1

2

）³+7（

1

2

）⁴++（2n-1）（

1

2

）ⁿ．①
①两边同乘以

1

2

，得

1

2

f（

1

2

）=（

1

2

）²+3（

1

2

）³+5（

1

2

）⁴++（2n-3）（

1

2

）ⁿ+（2n-1）（

1

2

）ⁿ⁺¹．②
①-②，得

1

2

f（

1

2

）=

1

2

+2（

1

2

）²+2（

1

2

）³++2（

1

2

）ⁿ-（2n-1）（

1

2

）ⁿ⁺¹，
即

1

2

f（

1

2

）=

1

2

+

1

2

+（

1

2

）²++（

1

2

）^n-1-（2n-1）（

1

2

）ⁿ⁺¹．
∴f（

1

2

）=1+1+

1

2

+

1

22

++

1

2n-2

-（2n-1）

1

2n

=1+

1- 1 2n-1

1- 1 2

-（2n-1）

1

2n

=1+2-

1

2n-2

-（2n-1）

1

2n

＜3．
∴f（

1

2

）＜3．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．