Question

已知f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ，且a₁，a₂，a₃，…，a_n组成等差数列（n为正偶数），又f（1）=n²，f（-1）=n；
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）求f（

1

2

）的值；
（3）比较f（

1

2

）的值与3的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）设数列的公差为d，因为f（1）=a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²，即数列的前n项和为n²，则n有a₁+

n(n-1)

2

d=n²，又f（-1）=-a₁+a₂-a₃+…-a_n-1+a_n=n，即

n

2

×d=n，d=2，联立可得答案；
（2）根据题意，f（

1

2

）=（

1

2

）+3（

1

2

）²+5（

1

2

）³+…+（2n-1）（

1

2

）ⁿ，将f（

1

2

）看成一个数列的前n项和，由错位相减法求解即可；
（3）由（2）的结论，f（

1

2

）=

3

2

-（2n+3）（

1

2

）ⁿ，易得f（

1

2

）＜

3

2

，进而可得答案．

解答：解：（1）设数列的公差为d，
因为f（1）=a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²，则na₁+

n(n-1)

2

d=n²，即2a₁+（n-1）d=2n．
又f（-1）=-a₁+a₂-a₃+…-a_n-1+a_n=n，即

n

2

×d=n，d=2．
解得a₁=1．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）f（

1

2

）=（

1

2

）+3（

1

2

）²+5（

1

2

）³+…+（2n-1）（

1

2

）ⁿ，①
两边都乘以

1

2

，可得

1

2

f（

1

2

）=（

1

2

）²+3（

1

2

）³+5（

1

2

）⁴+…+（2n-1）（

1

2

）ⁿ⁺¹，②
①-②，得

1

2

f（

1

2

）=

1

2

+2（

1

2

）²+2（

1

2

）³+…+2（

1

2

）ⁿ-（2n-1）（

1

2

）ⁿ⁺¹，
即

1

2

f（

1

2

）=

1

2

+

1

2

+（

1

2

）²+…+（

1

2

）^n-1-（2n-1）（

1

2

）ⁿ⁺¹．
∴f（

1

2

）=1+1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

-（2n-1）

1

2n

=1+

1- 1 2n-1

1- 1 2

-（2n-1）

1

2n

=1+2-

1

2n-2

-（2n-1）

1

2n

=3-（2n+3）（

1

2

）ⁿ；
则f（

1

2

）=3-（2n+3）（

1

2

）ⁿ；
（3）由（2）的结论，f（

1

2

）=3-（2n+3）（

1

2

）ⁿ，
又由（2n+3）（

1

2

）ⁿ＞0，
易得3-（2n+3）（

1

2

）ⁿ＜3，
则f（

1

2

）＜3．

点评：本题考查数列与函数的综合，涉及等差数列的性质与错位相减法求数列的前n项和；要求学生熟练掌握等差数列的性质与数列求和的方法．