Question

已知f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ，n为正偶数，且a₁，a₂，a₃，…，a_n组成等差数列，又f（1）=n²，f（-1）=n．试比较f（）与3的大小．

Answer 1

【答案】分析：由题设条件可知2a₁+（n-1）d=2n．再由f（-1）=-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+-a_n-1+a_n=n可解出a₁=1．所以f（）=+3（）²+5（）³+7（）⁴+…+（2n-1）（）ⁿ，再用错位相减法求解即可．
解答：解：∵f（1）=a₁+a₂++a_n=n²．
依题设，有=n²，故a₁+a_n=2n，
即2a₁+（n-1）d=2n．
又f（-1）=-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+-a_n-1+a_n=n，
∴•d=n，有d=2．进而有2a₁+（n-1）2=2n，解出a₁=1．
于是f（1）=1+3+5+7++（2n-1）．
f（x）=x+3x²+5x³+7x⁴++（2n-1）xⁿ．
∴f（）=+3（）²+5（）³+7（）⁴++（2n-1）（）ⁿ．①
①两边同乘以，得f（）=（）²+3（）³+5（）⁴++（2n-3）（）ⁿ+（2n-1）（）ⁿ⁺¹．②
①-②，得f（）=+2（）²+2（）³++2（）ⁿ-（2n-1）（）ⁿ⁺¹，
即f（）=++（）²++（）^n-1-（2n-1）（）ⁿ⁺¹．
∴f（）=1+1++++-（2n-1）=1+-（2n-1）=1+2--（2n-1）＜3．
∴f（）＜3．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．