Question

已知f(x)=

x

1+x

，数列{a_n}是以1为首项，f（1）为公比的等比数列；数列{b_n}中b1=

1

2

，且b_n+1=f（b_n）
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）令cn=an(

1

bn

-1)，求{c_n}的前n项和为T_n．
（3）证明：对?n∈N₊，有1≤T_n＜4．

Answer 1

分析：（1）由等比数列通项公式可求a_n；b_n+1=f（b_n）=

bn

1+bn

，两边取倒数得，

1

bn+1

=

1

bn

+1，从而可知{

1

bn

}是以1为公差的等差数列，可求

1

bn

，进而可得b_n；
（2）由（1）求得c_n，利用错位相减法可求T_n；
（3）通过作差可判断T_n单调性，由单调性可证明结论；

解答：解：（1）f（1）=

1

2

，则an=(

1

2

)n-1，
b_n+1=f（b_n）=

bn

1+bn

，两边取倒数得，

1

bn+1

=

1

bn

+1，
所以{

1

bn

}是以1为公差的等差数列，则

1

bn

=2+（n-1）×1=n+1，
所以bn=

1

n+1

，；
（2）cn=an(

1

bn

-1)=(

1

2

)n-1(n+1-1)=n•(

1

2

)n-1，
则Tn=1+2×

1

2

+3×(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n-1①，

1

2

Tn=

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n•(

1

2

)n②，
①-②，得

1

2

Tn=1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1-n•(

1

2

)n=2[1-(

1

2

)n]-n•(

1

2

)n=2-

2+n

2n

，
所以Tn=4-

2+n

2n-1

；
（3）因为Tn+1-Tn=[4-

2+(n+1)

2n

]-（4-

2+n

2n-1

）=

n+1

2n

＞0，所以T_n+1＞Tn，
所以Tn=4-

2+n

2n-1

递增，T_n≥T₁=1，
又

2+n

2n-1

＞0，所T_n＜4，
所以1≤T_n＜4；

点评：本题考查由递推式求通项公式及等差数列等比数列的通项公式，考查错位相减法对数列求和，属中档题．