Question

已知f(x)=

x

1-x

，设f₁（x）=f（x），f_n（x）=f_n-1[f_n-1（x）]（n＞1，n∈N^*），则f₃（x）和f_n（x）的表达式分别为（　　）

• A、

  x

  1-4x

  ，

  x

  1-2n-1x

• B、

  x

  1-8x

  ，

  x

  1-2nx

• C、

  x

  1-2x

  ，

  x

  1-2n-2x

• D、

  x

  1-x

  ，

  x

  1-2n-3x

Answer 1

分析：由已知 f(x)=

x

1-x

，设f₁（x）=f（x），f_n（x）=f_n-1[f_n-1（x）]（n＞1，n∈N^*），则易得f₂（x）、f₃（x）的表达式，根据三个表达式，我们归纳出变化规律，进而推断出f_n（x）（n∈N^*）的表达式．

解答：解：f1(x)=

x

1-x

，f2(x)=f1[f1(x)]=

f1(x)

1-f1(x)

=

x 1-x

1- x 1-x

=

x

1-2x

，f3(x)=f2[f2(x)]=

f2(x)

1-2f2(x)

=

x 1-2x

1-2• x 1-2x

=

x

1-22x

；
…
猜想 fn(x)=

x

1-2n-1x

．
故选A．

点评：猜想是课改的一个亮点，也是近年高考的一个热点．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．