Question

（在下列两题中任选一题，若两题都做，按第①题给分）．
①极坐标系中，极点到直线ρcosθ+ρsinθ=2的距离等于

2

．
②不等式|x+3|-|x-1|≤a²-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为

（-∞，-1]∪[4，+∞）

．

Answer 1

分析：①先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换将直线ρcosθ+ρsinθ=2的化成直角坐标方程，再在直角坐标系中算出极点到直线的距离即可．
②先去绝对值符号确定|x+3|-|x-1|的取值范围，然后让a²-3a大于它的最大值即可．

解答：解：①直线ρcosθ+ρsinθ=2的极坐标方程为：
x+y-2=0，
∴极点到直线ρcosθ+ρsinθ=2的距离等于：

|-2|

2

=

2

．
故答案为：

2

②令y=|x+3|-|x-1|
当x＞1时，y=x+3-x+1=4
当x＜-3时，y=-x-3+x-1=-4
当-3≤x≤1时，y=x+3+x-1=2x+2    所以-4≤y≤4
所以要使得不等式|x+3|-|x-1|≤a²-3a对任意实数x恒成立
只要a²-3a≥4即可
∴a≤-1或a≥4
故答案为：（-∞，-1]∪[4，+∞）

点评：①本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．
②本题主要考查不等式恒成立问题．大于一个函数式只需要大于它的最大值即可．