Question

选做题（请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则接所做的第一题计分）
（l）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xoy中，曲线C₁参数方程

x=cosa y=1+sina

（a为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C₂的方程为p（cosθ-sinθ）+1=0，则曲线C₁与 C₂的交点个数为

2

．
（2）（不等式选做题）若关于x的不等式ax²-|x-1|+2a＜0的解集为空集，则a的取值范围是

a≥

3 +1

4

．

Answer 1

分析：（1）先根据同角三角函数的关系消去参数α可求出曲线C₁的普通方程，然后利用极坐标公式ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ进行化简即可求出曲线C₂普通方程，最后利用直角坐标方程判断C₁与C₂的交点个数即可．
（2）分a=0，a＜0和a＞0，三种情况结合二次函数的图象和性质分析关于x的不等式ax²-|x-1|+2a＜0的解集为空集是否有可能满足条件，进而利用零点分段法，及二次函数的图象和性质，可求出a的取值范围．

解答：解：由曲线C₂的方程为p（cosθ-sinθ）+1=0，
∴x-y+1=0．即y=x+1；
将曲线C₁的参数方程化为普通方程为x²+（y-1）²=1．
∴消去y整理得：2x²-1=0．
△＞0，
∴此方程有两个不同的实根，
故C₁与C₂的交点个数为2．
（2）当a=0时，-|x-1|＜0的解集不是空集； 这种情况舍去．
当a＜0时，因为开口向下的二次函数图象是向下无限延伸的，所以ax²-|x-1|+2a＜0的解集不可能为空集．这种情况舍去．
当a＞0，当x≤1时，不等式ax²-|x-1|+2a＜0可化为ax²+x+2a-1＜0
由于对应函数图象的对称轴为x=-

1

2a

＜0，
∵关于x的不等式ax²-|x-1|+2a＜0的解集为空集，
∴f（x）min=f（-

1

2a

）=

8a2-4a-1

4a

≥0
即8a²-4a-1≥0
解得a≥

3 +1

4

当x＞1时，不等式ax²-|x-1|+2a＜0可化为ax²-x+2a+1＜0
由于对应函数图象的对称轴为x=

1

2a

＞0
∵关于x的不等式ax²-|x-1|+2a＜0的解集为空集，
∴f（

1

2a

）=

8a2+4a-1

4a

≥0且f（1）=3a≥0
即8a²+4a-1≥0且a＞0
解得a≥

3 -1

4

综上所述a≥

3 +1

4

故答案为：2，a≥

3 +1

4

点评：本题（1）主要考查椭圆的参数方程、简单曲线的极坐标方程，求直线与椭圆的交点个数，考查运算求解能力及转化的思想，属于基础题．（2）的关键是零点分段法，及对参数a的分类讨论．